Parallelenlehre.

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könnte, so könnte man aus ihr den Ausdruck der Größe p ableitenin der Abhängigkeit von den A, B, C, woraus folgen würde, daß dieSeite p einer Zahl gleich sein würde, was absurd ist. Also kann dieFunktion ep die Seite p nicht enthalten, und folglich ist C = q>(- 1 , '>')•

Diese Formel weist gerade darauf hin, daß wenn zwei Winkeleines Dreiecks zwei Winkeln eines andern Dreiecks gleich sind, soauch die dritten Winkel gleich sind. Wenn aber das bewiesen ist, soist es nicht schwer, auch das Theorem selbst über die Gleichheit derSumme der Winkel eines Dreiecks mit zwei Rechten zu beweisen.

Zuerst nehmen wir ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit demrechten Winkel bei A und fällen ein Perpendikel A D von diesemPunkt A auf die Hypotenuse. Dann werdendie Winkel B und D des Dreiecks ABD denWinkeln B und A des Dreiecks BAC gleichsein, und folglich wird, nach dem eben Be-wiesenen, der dritte Winkel BAD dem drittenWinkel C gleich sein. Auf Grund derselben Er-wägungen wird der Winkel DAG = B sein, und folglich BAD + DA Coder BAC= B -j- C. Aber der Winkel BAG ist ein rechter, folglichwerdeii die beiden spitzen Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks zu-sammen einen rechten Winkel bilden.

Nehmen wir jetzt irgend ein Dreieck BAC, in dem die Seite BCnicht kleiner ist, als jede der beiden andern Seiten. Wenn wir vondem Scheitel des Winkels A, der der SeiteBC gegenüberliegt, auf diese Seite der

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Perpendikel AD fällen, so wird diesesPerpendikel im Linern des Dreiecks BACverlaufen und dasselbe in zwei recht- y }winklige Dreiecke BAD, DAG teilen.

Im ersten werden die beiden WinkelBAD und ABD einen rechten Winkel bilden, ebenso auch imzweiten die beiden Winkel DAC, ACD. Bei der Vereinigung

jedoch aller dieser vier Winkel werden sie die drei Winkel bildenBAC, ABC, ACB, oder ebenfalls zwei Rechte. Also ist die Summeder Winkel in jedem Dreieck zwei Rechten gleich.

Die Hauptarbeit in der Theorie der Parallellinien in der zweitenHälfte des 18. Jahrhunderts und, wenn man die Arbeit vonSaccheri ausschließt, auch in der ganzen vorhergehenden Zeit, wardas Werk Lamberts „Theorie der Parallellinien“ 1 ). Es war schon

Fig. 17

Fig. 16.

*) Magazin für die reine und angewandte Mathematik, herausgegeben von