l’arallelenlehre.

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scheint mir merkwürdig zu seyn, daß die zwote Hypothese statt hat,wenn man statt ebener Triangel sphärische nimmt, weil bei diesensowohl die Summe der Winkel größer als 180 Gr. als auch derÜberschuß dem Fläclienraume des Triangels proportional ist. Nochmerkwürdiger scheint es, daß, was ich hier von den sphärischenTriangeln sage, sich ohne Rücksicht auf die Schwierigkeit der Parallel-linien erweisen lasse, und keinen andern Grundsatz voraussetzt, alsdaß jede durch den Mittelpunkt der Kugel gehende ebene Fläche dieKugel in zween gleiche Theile theile. Ich sollte daraus fast denSchluß machen, die dritte Hypothese komme bey einer imaginärenKugelHäche vor. Wenigstens muß immer etwas sevn, warum sie sichbey ebenen Flächen lange nicht so leicht umstoßen läßt, als es sichbei der zwoten thun ließ.“ 1 )

Als er, wie die Bemerkung zeigt, erfuhr, daß die zweite Hypo-these sich auf der Kugel verwirklicht, ging Lambert weiter undsprach die für seine Zeit außerordentlich kühne Vermutung aus, daßzu demselben für die dritte Hypothese die imaginäre Kugelflächeführe. Damit schaute er weit in die Zukunft, weil die Richtigkeitseiner Vermutung erst ein ganzes Jahrhundert nachher bewiesen werdenkonnte. Vollkommen möglich ist es, daß er zu seiner Vermutung ge-langte, indem er den Radius der Kugel r durch den Wert j/ - 1 ' rin der Formel

K(,l + 11+C-ji)

ersetzt, die zum Ausdruck des Flächeninhaltes des sphärischen Drei-ecks mit den Winkeln A , B, C dient. Als Resultat dieser ^ er-tauschung mußte er den Ausdruck

r 3 (tc — A — 7 > - (')

bekommen, was dem Forscher zeigte, daß auf der imaginären Kugel,ebenso wie auf der wirklichen, der Flächeninhalt des Dreiecks derAbweichung der Winkelsumme des Dreiecks von zwei Rechten pro-portional ist und daß dieselbe Summe nicht größer sein kann alszwei Rechte, d. h. alles das, was den Inhalt der dritten Hypothesebildet.

Mit der Theorie der Parallellinien beschäftigte sich ebenfallsLagrange. Er war, ebenso wie Lambert und Legendre , von denerhaltenen Resultaten nicht befriedigt, was aus folgenden übrigenssehr ungenügenden Auskünften zu ersehen ist. Nach der MitteilungLeforts, von Hoüel 2 ) dargestellt: „Lagrange hatte erkannt, daß

‘) Kugel und Stil ekel, Die Theorie der Parallellinien von Euklid bisauf Gauß. Leipzig 1895, S. 202—203. *) Hoüel, Essai critique sur les prin-

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