Die Ausbildung der Trigonometrie durch Euler und dessen Zeitgenossen. 407

der Bögen ad und ab und c sei das Zentrum der Kugel, dann istce = sec ab, cf = sec ad und <^Cc = arc6rf bekannt. Somit ergibtsich aus Acef die Seite ef und da af=tgad, ae = tgab ebenfallsbekannt sind, so findet man aus dem ebenen Aaef den eaf=a.Im tlrunde genommen ist Blakes Verfahren nur eine Vereinfachungder schon von den Arabern und Regiomontan ausgebildeten Me-thode. 1 )

Im Jahre 1756 2 f versuchte ferner der Franzose Alexander-Gui Pingre (siehe XIX. Abschnitt, S. 14), der sich durchweg derFormelschreibweise Eulers bediente, dieNepersche Kegel für recht-winklige sphärische Dreiecke auf schiefwinklige auszudehnen, indemer die längst bekannten Sätze, welche sich durch Fällen eines senk-rechten Bogens von einer Ecke eines Dreiecks auf die Gegenseite er-geben, in zwei Regeln zusammenfaßte, die nur auf jene beiden Auf-gaben, in welchen drei Seiten oder drei Winkel gegeben sind, keineAnwendung fanden. Dieser Umstand veranlaßte später (1798) denSchotten Walter Fisher, Pingres Kegeln zu verbessern 3 ), indem ersie durch vier in allen Fällen anwendbare Theoreme ersetzte, die je-doch wenig Verwendung fanden.

Jean Francois de Castillon kennen wir bereits als Heraus-geber von Newtons kleineren Schriften (IIP, S. 508). Durch dasStudium der Werke des letzteren wurde er offenbar zur Abfassungzweier Abhandlungen veranlaßt, die er 1764 und 1765 der BerlinerAkademie vorlegte 4 ) und in denen er eine neue Begründung einigerSätze der ebenen Trigonometrie versuchte. So gab er eine geome-trische Ableitung des Halbwinkelsatzes und zeigte, wie aus diesemsieben Theoreme Hießen, die schon Newton in seiner Aritlimetieauniversalis aufgestellt hatte. 5 )

Eulers analytische Formeln wurden mit Glück verwendet ineiner Dissertation aus dem Jahre 1760, die unter dem Präsidium vonJohann Kies (1713—1781), Professor in Tübingen , von den Kan-didaten des Magisteriums Hoffmann und Jäger verteidigt wurde.Sie führt den Titel „Trigonometria methodo plana et facili exposita“und gibt die goniometrischen Formeln sehr vollständig, ohne jedochdie trigonometrischen Funktionen als Verhältnisse zu definieren. Dannwerden die zehn Hauptgleichungen zwischen drei Stücken eines recht-

*) Vgl. A. v. Braunmühl, Vorlesungen über Geschichte der Trigono-metrie I, 1900, p. 68 und 129. *) Mem. de l'Acad. de Paris 1756 (erschienen

1762), p. 301. •) I*. T. I, 2, 1758, p. 538—543. 4 ) Propositions de Geo-

metrie et de Trigonometrie elementaire, demontrees d’une maniere nouvelle.Mem. de l’Acad. de Berlin 1766 (publiziert 1768), p. 354—364. 6 ) Arith-

metica univ., Cap. XIII, Problemata geometrica.