Kosinussatzes, wie der Kotangentenforrael für logarithmische Rech-nung her, indem er z. B. im ersteren Falle in
cos A = cos 11 cos C + sin 1> sin C'cos «, cos a— 1 — 2 sin y 2
und
cos (Ji — C) ■ cf s2 sin li sin C Sm 2
setzte, wodurch er die elegante Formel
* ^ T> . . <l -j- a • qp — a
cos .4 = 2 sm li sm (/sin ^ sin
erhielt. 1 )
Ferner muß noch erwähnt werden, daß Lambert ebenso wieEuler die trigonometrischen Funktionen als Verhältnisseauffaßte, wenn er dies auch ebensowenig wie jener ausdrücklich her-vorhob; dies beweist die Schreibweise seiner Formeln für die recht-winkligen ebenen Dreiecke, wie
k = It sin a = h cos b, c = h cos a = h sin b usw.,
wo h die Hypotenuse, k und c die beiden Katheten bezeichnen.
Noch von einer anderen Seite her suchte Lambert die Trigono-metrie zu bereichern, indem er nämlich die Hyperbelfunktionenfür sie verwertete. Schon Gregor von St. Yincentio, David Gre-gory und John Craig hatten durch die Quadratur der gleichseitigenHyperbel, wenn auch unbewußt, die Grundlagen für diese Funktionengeschaffen, bei Newton traten dann bereits Vergleiche zwischen Kreisund gleichseitiger Hyperbel auf, und De Moivre hatte schon ziem-lich deutlich erkannt, daß durch Vertauschung des Reellen mit demImaginären Kreisaufgaben in solche für die gleichseitige Hyperbelübergehen. Der erste aber, welcher eine Theorie der Hyperbelfunk-tionen begründete, war der von Lambert selbst genannte GrafVin-cenzo Riccati (vgl. BIII 2 , S. 474), der sie mit Hilfe geometrischer Be-trachtungen entwickelte 2 ), während Lambert 1768 zuerst auf denGedanken kam, sie zur Behandlung trigonometrischer Probleme zu ver-werten.®)
Ist (Fig. 22 ) CD Q ein Kreisquadrant, der den Ast Qq einergleichseitigen Hyperbel in Q berührt, q ein beliebiger Punkt der Hy-perbel, qP QC, PQ und qp _L QC, ^CPCQ = co der sogenannte
’) a. a. U., p. 415ff. — Eine etwas andere Umgestaltung hat W. Croswell,Lehrer der Schiffahrtskunde, durch eine Regel ausgedrückt, gegeben: Memoirsof the American Academy of Arts and Sciences II, part I, 1780 (veröffentlicht1793), p. 18—20. *) Vgl. S. Günther, Lehre von den Hyperbelfunktionen,Halle 1880, Kap. I. *) Observations trigonometriques. Histoire de l’Aca-
demie de Berlin 1768, 24, p. 327.