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Abschnitt XXIII.
C
\ p
u
\
„transzendente“ und -$iqCQ = <p der „gewöhnliche“ Winkel, dannfolgt aus der Figur: 1. tgq> = sin«, CP = secco = Cp = cosli u und^ V Q = tg co = pq = sinh u, wenn der zu Win-kel (f gehörige Hyperbelsektor QCq mitD -_ / u bezeichnet wird. Hieraus folgt dann
leicht du — und daraus hinwieder
l — tg <jp -
2. u = log tg ^45° + ”) • Somit kaim man
zu jedem Winkel cp den entsprechendenHyperbelsektor berechnen, indem man sichder beiden Gleichungen 1. und 2. bedient. Damitkonstruierte nun Lambert eine kleine Tabelle,welche in der ersten Spalte links die AN erte des AA inkels co von 0° bis 1)0°enthält und zu ihnen die entsprechenden Hyperbelsektoren, den sin-hyp., den coshvp., die Logarithmen derselben, die tg. und log tg.des gewöhnlichen Winkels und endlich in der letzten Spalte diesenselbst gibt. Wie er dieselbe zur Vereinfachung trigonometrischerRechnungen anwandte, erkennt man am besten aus einem Beispiel.Es soll für ein sphärisches Dreieck abc aus dem Winkel c und derSeite IC) eine Tabelle berechnet werden, die zu jedem AVinkel c denzugehörigen Winkel a gibt. Dazu hat man
li OP
Fi«, »i.
sin B ctg A = cos c cos B + sin c ctg aund hieraus = tg/csecc — tgc', wenn tg b = tg B ctg A und
c = 90° — c ist. Sind nun die den Winkeln 7; und c entsprechendenHyperbelsektoren x und y, so hat man ctg« = — ^ sin/< (x — y),
wodurch die Rechnung auf eine einzige Analogie gebracht ist undzwar auf die einfache Addition des konstanten Logarithmus voncos B : cos hx zu dem Logarithmus von siu lt(y. — y).
Dadurch, daß Euler die trigonometrischen Linien als „Rech-nungsgrößen“, wie er sagte, in die Analysis eingeführt hatte, hattesich zunächst vielfach eine Trennung der elementaren Trigono-metrie, die nur zur Berechnung der Figuren in der Ebene und aufder Kugel dient, von der heute nach Klügels Vorgang s ) als Gonio-metrie bezeiclineten Lehre von den AN inkelfunktionen vollzogen. Diesläßt sich am deutlichsten aus zwei Schriften erkennen, die der preu-ßische Offizier Georg Friedrich von Tempelhof (1737 —1807)
*) Lambert bezeichnet durchweg die Seiten mit den großen, die gegen-überliegenden Winkel mit den kleinen Buchstaben des lateinischen Alphabetes.*) Mathematisches Wörterbuch II, p. 504.