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Abschnitt XXIII.

Dissertationen 1 ) und in seinen geometrischen Abhandlungen (2 Samm-lungen, Göttingen 1790—91) und noch anderwärts 2 ) vielfache An-wendungen auf astronomische, physikalische und geometrische Fragen,wobei er die trigonometrischen Formeln mit Gewandtheit handhabte,wenn auch die Eleganz seiner Lösungen durch das fast beständigeMitschleppen des Sinus totus beeinträchtigt wird.

Neun Jahre nach dem Erscheinen von Klügels Buch kam auchEuler noch einmal auf die sphärische Trigonometrie zurück 3 ), derenFormelsystem er bereits vor 2ß Jahren mit Hilfe höherer Rechnungabgeleitet hatte. Offenbar befriedigten ihn die inzwischen über diesenGegenstand erschienenen Abhandlungen und Bücher nicht, und erwollte daher zeigen, wie man das ganze Formelsystem, das auch nocheiniger Ergänzungen bedurfte, auf elementare Weise aus einer ein-zigen Figur ableiten könne. Als solcher bediente er sich des zumschiefwinkligen sphärischen Dreieck A 1>C gehörigenDreikants, dessen Spitze im Mittelpunkt 0 derKugel mit dem Halbmesser 1 liegt (Fig. 23). In denEbenen COa und C'Ob (a liegt auf OA und b aufOB) seien Ca und Cb senkrecht zu OC errichtet,ferner sei bp JL Ca, bq j_ Oa, dann ist $Zbqp

der Neigungswinkel von Oa, ferner ist COa= Seite b, COb = Seite a und a Ob = Seite cdes sphärischen Dreiecks. Aus der Figur folgtdann unmittelbar:

Ca = tg&, Oa = secb, Cb = tg«, Ob = sec«.

Fig. 28.

Hieraus folgt bq = Ob sin c = 8 * n 6 und Oq = Ob cos c = — 3 C • Da

° 1 cos a x cos«

ferner aCb = C des Dreiecks* ABC ist, so hat man

*) Dissertationes mathematicae et physicae, quas Societati reg. sei. Got-tingensi annis 1756—1766 exhibuit etc. Altenburgi 1771. Besonders zu be-merken sind darunter Nr. 7: Gnomonica universalis analytica 1762, eine Um-arbeitung der Gnomonica analytica von 1754, hervorgerufen durch seine erweitertenKenntnisse trigonometrischer Formeln; dann Nr. 9: „Quot sphaerae aequalesmediam et se mutuo tangere possint“, woselbst sich eine elegante Ableitungder Fläche eines sphärischen Dreiecks mit höherer Rechnung findet. *) So

findet sich in Novi Comm. Soc. Gotting. VII ad annum 1776 (publiziert 1777),p. 92—141 bei Behandlung des optischen Problems von Alhazen (vgl. I®, S. 744)eine näherungsweise Auflösung einer trigonometrischen Gleichung von der Formsin cp — B tgcp = A und in Hindenburgs Archiv der reinen und angewandtenMathematik II, 1798, p. 174 wird die Wertänderung der beiden Seiten des Aus-druckes seeep + tgqp = tg ^45° + ^ diskutiert und in Einklang gebracht, wenncp von 0° bis 90° wächst. *) Trigonometria sphaerica universa ex primis principiis