Die Ausbildung der Trigonometrie durch Euler und dessen Zeitgenossen. 415bp = Cb sin C = tg a sin C und Cp = Cb • cos C = tg a cos C;und da ^Zt'aO = 90° — b ist, so folgt noch:
ap = Ca — Cp = tgb — tgr/ cos C, pq = apcosb = sin b — tgncos&cosG'und
. , sin b* . . 7 /'t i cos c , , , ,
aa = an sin b = - ,— tgo sin b cosG oder - = cos b -f- tgo sinh cos G
1 1 cos b ° cos a n
und hieraus endlich
cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C.
Ähnlich liest man aus der Figur unmittelbar die Gleichung des Sinus-satzes ö -.— = S -° ^ und die in dieser Form neue Gleichungsin c sin« °
pq . cos a sin b — sin a cos b cos C
ab. Diese drei Gleichungen umfassen, wie Euler sagt, die ganzesphärische Trigonometrie, und in der Tat gelang es ihm durch ein-fache Rechnung aus ihnen alle jene Formeln abzuleiten, die heute deneisernen Bestand der sphärischen Trigonometrie bilden.
Auch die Existenz und die Eigenschaften des Supplementardrei-ecks, für das Euler jedoch keinen eigenen Namen hat, wurden ineinem „Theorema“ hervorgehoben, während eine Nebeneinanderstel-lung der Polarformeln nur für die Kosinus- und Kotangentensätzedurchgeführt wurde — in diesem Punkte war Klügel bereits weitergegangen. Dagegen erkannte Euler hier zuerst die sechs möglichenFormen der dritten Hauptgleichung, das Prinzip der zyklischen Ver-tauschung aber war ihm, wie seine Formelschreibung zeigt, entgangen.
Euler hat von seinen trigonometrischen Formeln den vielseitig-sten Gebrauch gemacht in rein mathematischen und mechanischen,wie in astronomischen und physikalischen Untersuchungen. Wirwollen hier auf die wichtigsten hin weisen, die zur ersten Gruppe ge-hören. In den Petersburger Akten für das Jahr 1778 ^ hatte erbereits gezeigt, wie man die trigonometrischen Funktionen zur Lösungeiniger schwieriger diophan tisch er Gleichungen benutzen könne undebenda 2 ') eine Abhandlung über die Messung der Körperwinkel durchdie Inhaltsbestimmung sphärischer Figuren gegeben, bei welcher Ge-