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Abschnitt XXIII.

legenheit er die trigonometrischen Funktionen des sphärischen ExzessesS eines Dreiecks in den Seiten desselben durch elegante Formeln aus-drückte. Diese wurden noch in einer erst nach seinem Tode 1792erschienenen Abhandlung weiter ergänzt, die ebenfalls aus dem Jahre1778 stammte. 1 ) Die in der ersteren Abhandlung mitgeteilte Formel

o O

, 8 Vitg= —

cos« 2 — cos b 1 — cosc 2 -)- 2cos a cos h cos c

„ . . . . , wo (i. b. c die Seiten

1 -f- cos a cos o + cos c ' 1 7

des Dreiecks sind, hat De Gua 1783 3 ) wieder entwickelt, ohne jedochEuler zu erwähnen. Endlich erschien 1786 ebenfalls posthum ein ältererAufsatz von ihm 3 ), in welchem er mit alleiniger Benutzung des Ko-sinussatzes die Relationen zwischen den sechs Linien, die vier Punktein der Ebene verbinden, aufsuchte. Dabei wurde auch die Fragebehandelt, wie man ein Kreisviereck bestimmt, dessen Seiten und Dia-gonalen durch rationale Zahlen ausgedrückt werden.

Mit besonderer Eleganz handhabten die Euler sehen Formelnbald sein Schüler Andreas Johann Lexell, sein Gehilfe NikolausFuß und der Petersburger Astronom Friedrich Theodor Schubert -Der erste, auf den wir noch weiter unten eingehend zu sprechenkommen werden, hat in mehreren Abhandlungen 4 ) eine ganze Reihevon wichtigen Theoremen über die Geometrie der Kugelkreise ent-wickelt, die geradezu die Grundlagen für alle späteren auf dieses Ge-biet bezüglichen Arbeiten wurden. So wies er nach, daß die Spitzenaller sphärischen Dreiecke von gleicher Fläche, die über derselbenGrundlinie stehen, auf einem Kleinkreise liegen 5 ), berechnete in ele-ganten Formeln die sphärischen Radien des einem Dreieck umge-schriebenen und des ihm eingeschriebenen Kreises aus den Seiten, bzw.Winkeln desselben, gab ein Analogon zum Ptolemäischen Satze vomebenen Sehnenviereck für das einem Kleinkreis eingeschriebene Vier-eck, berechnete den Radius von jenem aus den Seiten von diesemund löste die entsprechenden polaren Aufgaben. Auch übertrug erden Satz vom harmonischen Kreis auf die Kugel (LexellscherKreis).

Auch Nikolaus -Fuß (vgl. IIP, S. 551 i hat interessante Aufgabender Kugelgeometrie behandelt 6 ), die wir in folgender Form kurz zu-

') Yariae speculationes super area triangulorum sphaericorum. Nova Acta.Acad. Petrop. X, ad annum 1792 (erschienen 1797), p. 47—62. *) Memoires

de l’Academie de Parin 1783, p. 358. 8 ) De symptomatibus quatuor punctormn

in eodem plano sitorum. Acta Acad. Petrop. ad annum 1782 (erschienen 1786i,pars I, p. 3 ff. *) Acta Acad. Petrop. ad annum 1781, pars I (erschienen 1784 1 ,p. 112 — 1-26, und ebenda, 1782, pars I (erschienen 1786), p. 58—106 und pars II,,p. 85—95. s ) Einen Beweis dieses Satzes hatte Euler schon 1778 gegeben;

posthum erschienen 1797 in Nova Acta Acad. Petrop. X, ad annum 1792.e ) Nova Acta Acad. Petrop. II, ad annum 1784 (erschienen 1788), vorgelegt 1786,