sammenfassen können: Ein sphärisches Dreieck mit gegebener Basisso zu bestimmen, daß seine Spitze auf einem gegebenen größtenKreise liegt und der Dreieckswinkel an derselben oder die Fläche desDreiecks ein Maximum oder die Summe der Schenkel ein Minimumwird. Auch fand er 1 ) als Ort der Spitze eines sphärischen Dreiecksüber gegebener Basis, für das die Summe der Schenkel konstant ist,eine „sphärische Ellipse“, welche mit der ebenen Figur gleichenNamens viele Eigenschaften gemein hat.
Endlich hat Schubert, durch diese Arbeiten angeregt, 1786 und1798 ähnliche Fragen untersucht, indem er*) z. B. das größte undkleinste sphärische Dreieck mit gegebener Basis und Höhe bestimmteund die geometrischen Örter eines Punktes auf der KugelÜäche be-handelte 3 ), für welchen das Verhältnis der Sinus oder der Kosinusder ganzen oder halben kürzesten Entfernungen von zwei festenKugelpunkten konstant ist.
Auch der große Lagrange beschäftigte sich vorübergehend mittrigonometrischen Fragen. Außer einer Abhandlung über eine neueBegründung der sphärischen Trigonometrie, auf die wir weiter untennoch zu sprechen kommen, veröffentlichte er 1774 „Solutions dequelques problemes d’Astronomie splierique par le rnoyen des series“ 4 ),worin er die Auflösung der transzendenten Gleichung tgx = mtgy nach
X durch die Reihe x = y — 0 sin 2 p + * 0 2 sin 4 y — * 0 3 sin Qy + • • •darstellte, in welcher 0 = ] bedeutet. Indem er diese Gleichung
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sowohl mit jenen drei Fundamentalgleichungen des sphärischen Drei-ecks, in denen Tangenten Vorkommen, als auch mit den NeperschenAnalogien verband, gelangte er zu mehreren, namentlich in der Astro-nomie und Geodäsie sehr brauchbaren Lösungen trigonometrischerAufgaben. So erhielt er z. B. zur Bestimmung der Winkel ß und yeines sphärischen Dreiecks, von dem die Seiten b, c und der Winkel agegeben sind mit Benutzung der erwähnten Analogien, die Reihen-entwicklungen:
V = tg g (ctg y + tg ^ ) sin a — \ tg ® (ctg * — tg ^ sin2a H -,
p. 70; auch Leipziger Magazin für reine und angewandte Mathematik, 1786,p. 241—245.
’) Nova Acta Acad. Petrop. III, ad annum 1785 ^erschienen 1788), vorge-legt 1787, p. 90—99. *) Ebenda, IV, ad annum 1786 (erschienen 1789). vor-gelegt 1786, p. 89—94. *) Ebenda, XII, ad annum 1794 (erschienen 1801),
vorgelegt 1798, p. 196—216. 4 ) Nouveaux Memoires de l’Acad. de Berlin ,
annee 1776 (erschienen 1779), gelesen 1774, p. 214ff. Oeuvres, Ed. Serret, IV,p. 275—298.