Die Ausbildung der Trigonometrie durch Euler und dessen Zeitgenossen. 421

alle anderen, weshalb es ziemlich überflüssig war, daß Cagnoli noch17 98 eine Zusammenstellung von 1159 Proportionen angab 1 ); aller-dings sind unter diesen auch die Formeln für endliche Variationenenth alten.

In Beziehung zu diesen Betrachtungen stehen auch die Methoden,welche anzuwenden sind, wenn in trigonometrischen Rechnungen dieLogarithmen der Sinus von Winkeln, die nahe an 90° liegen, oderdie der Kosinus sehr kleiner Winkel Vorkommen, oder wenn direktFunktionen kleiner Winkel zu bestimmen sind. Israel Lyons (1739bis 1775), Rechner beim Board of Longitude in London , schlug hierzuein Verfahren ein 2 ), das wir an einem von ihm gegebenen Beispielerläutern wollen. Ist in dem bei li rechtwinkligen sphärischen Drei-eck AllC Ali = c und ]>(' = a (klein gegen c) gegeben, und solldie Hypotenuse b berechnet werden, so setzt er h = c + g, nimmt

cos ?> = cos <i cos e = cos(c + g) = cos c — sin c sin g — cos c sinversg

und erhält hieraus

sin g = ctg c sinvers a — ctg c sinvers g.

Xun berechnet er mit alleiniger Benutzung des ersten Gliedes aufder rechten Seite einen Näherungswert für g und mit diesem dannals Korrektur das zweite Glied.

Anders verfuhren Lambert und Gagnoli, die für solche Fälledie Ersetzung der zu berechnenden Formeln durch andere gleich-wertige, aber brauchbarere vorschlugen. Ist z. B. die Entfernung xzweier sehr nahe beieinander gelegener Örter auf der Erde oderzweier Sterne aus ihren Entfernungen vom Pol c und x und demUnterschied X der Längen oder Rektaszensionen zu bestimmen, soersetzt Lambert 3 ) die Formel cos x = cos c cos x + sin c sin x cos /.

/y» —* / ^ 2

durch die gleichwertige sin = y sin--- + sine sin x sin - , fürdie man, falls c — x und A wenig von 1 oder 2 Graden verschiedensind, die Xäherungsformel x = yX 2 sine sin x + (c — x) 2 nehmen kann.Ähnlich verfuhr Cagnoli 4 ), sprach aber das allgemein richtige Prin-zip aus, daß man am sichersten rechnet, wenn man den gesuchtenWinkel durch eine Tangente oder Kotangente bestimmt. So ge-brauchte er z. B. für die Gleichung cos « = C0Si , im Falle b und c

° cos c ’

*) Memorie della Societä Ituliaua VIII, 1 , p. 214—218, vorgelegt 1798, und

Trigonometria, 2. Auf!., p. 360—378. *) P. T. LXV, 2, 1775, p. 470—484.

9 ) Bo des Astronomisches Jahrbuch für 1778 (erschienen 1776), p. 205—210.

4 ) Trigonometria, 1 . Aufl. p. 250, 2. Aufl. p. 296.

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