Tetragonometrie, Polygonometrie und Polyedrometrie.

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erkennend eine allgemeine Methode zur Berechnung beliebigerPolygone entwickelte, war der schon genannte Petersburger Mathe-matiker Lexell. Andreas Johann Lexell , 1740 zu Abo inFinland als Sohn des dortigen Bürgermeisters geboren, kam 1700auf Grund einer Abhandlung über die Auffindung von Kurven ausden Eigenschaften ihrer Krümmung als Lektor an die Universitätund als Professor an die Marineschule in Upsala. Als er 1708 andie Petersburger Akademie eine Abhandlung einsandte, in welcher ereine neue Methode zur Integration gewisser Differentialgleichungenauseinandersetzte, wurde Euler auf ihn aufmerksam und veranlaßtesofort seine Berufung nach Petersburg , der er auch Folge leisteteund sich als Eulers treuer Mitarbeiter namentlich an dessen neuerMondtheorie auszeichnete. Als der letztere 1783 starb, erhielt Lexellseine Stelle in der Akademie, in die er schon früher aufgenommenworden war, hatte sie jedoch nur mehr ein Jahr inne, indem er schon1784 seinem Meister im Tode nachfolgte.

Lexell hat der Polygonometrie zwei Abhandlungen gewidmet,in denen er diesen Zweig der Trigonometrie eigentlich erst schuf 1 ).Er löste darin die Aufgabe aus 2n — 3 Stücken eines w-Ecks, diedasselbe bestimmen, die übrigen zu berechnen, indem er das Poly-gon auf zwei zueinander senkrechte Linien, wovon er die eine miteiner Seite zusammenfallen ließ, orthogonal projizierte. Die beidenhierdurch sich ergebenden Gleichungen sind in seiner Schreibweise:a sin a + b sin (a + ß) + c sin {a + ß + y) ■

+ 1 sin (ce + ß + y + • • ■ + /») = 0,a cos a + b cos (a + ß) + c cos + +

+ fcos(«- r /I-r>'+- , - + ^) = G,wobei a, b, c, . . . I die Seitenlangen und u, ß, y, . . . 7. die Außenwinkeldes Polygons bedeuten, und die Beziehung besteht:

« + /i + y + -- - + A = 3G0°.

Die beiden Gleichungen werden auch noch dadurch verallgemeinert,daß die Projektion des Polygons auf zwei beliebige sich in einerEcke schneidende rechtwinklige Achsen vorgenommen wird; auch wird

O O 7

ihre allgemeine Gültigkeit für überschlagene Polygone und solche miteinspringenden Ecken an Beispielen dargetan, wobei nur zu beachtenist, daß die Summe der Außenwinkel in solchen Fällen ein Vielfachesvon 27t beträgt.

Als spezielle Anwendungen zeigt Lexell, wie sich aus seinen

l ) De resolutione polygonorum rectilineorum. Novi Comm, Acad. Petrop.XIX, 1774, p. 184—236 und XX, 1775, p. 80—122, publiziert 1775, resp. 1776.