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Abschnitt XX1U.

Gleichungen die Grundformeln der Trigonometrie und der Tetragono-metrie ergeben und fügt noch die entsprechenden für die Fünf- undSechsecke hinzu. Diese Detailuntersuchungen, namentlich insoweitsie sich auf das Viereck beziehen, werden dann in der zweiten Ab-handlung noch weiter ausgearbeitet, wobei eine vollständige Klassi-fizierung aller möglichen Fälle, auch jener, die mit Hereinziehungeiner und zweier Diagonalen entstehen, vorgenommen wird.

Auf einer anderen Grundlage hat Simon L’Huilier eine Polv-gonometrie aufgebaut 1 ). An ihre Spitze stellte er folgenden Satz:„Läßt man eine Seite des Polygons weg, bildet aus allen anderen dieProdukte aus je zweien und multipliziert jedes Produkt mit demSinus des von den betreffenden Seiten gebildeten Winkels , so ist die

Summe dieser ———- Produkte gleich dem doppelten Inhalt des

Polygons“. Da man nun immer andere Seiten des Polygons weg-lassen kann, so erhält man n Ausdrücke für den Polygonsinhalt, dieeinander gleichgesetzt die fundamentalen Beziehungen zwischen denSeiten und Winkeln des Polygons liefern. Außer dieser Formelgruppeverschafft sich L’Huilier aber noch zwei Fundamentalformeln, dieidentisch sind mit Lexells Projektionsformelu 2 ), indem er den Poly-gonsinhalt einmal in der obigen Weise und dann als Summe einesdurch eine Diagonale abgeschuittenen Eckdreiecks und des übrig-bleibenden Polygons von n — 1 Seiten bildet. Den übrigen Inhalt desBuches machen allgemeine und spezielle Anwendungen dieser Sätze aus.

Außerdem hat L’IIuilier über seine Vorgänger hinausg.ehendnoch in einer dem Institut national 1799 eingereichten Abhandlung„Tlieoremes de Polyedrometrie“, Paris 1805, seine Sätze auf Raum-polygone ausgedehnt und den Hauptsatz der Polyedrometrie auf-gestellt, daß jede Seitenfläche eines Polyeders gleich der Summe derübrigen ist, wenn man jede mit dem Kosinus des Winkels multipliziert,den sie mit der ersten bildet. Doch wurden die notwendigen Be-dingungen, unter denen allein dieser Satz gültig ist, weder vonL’Huilier noch von Carnot 3 ), der sieh bald nach ihm mit Sätzender Polyedrometrie und der Raumpolygone beschäftigte, angegeben.

Die Hauptsätze der Polygonometrie fanden in den Lehrbüchernmerkwürdig schnell Eingang, so in Prändels vielbenutzter „Geo-metrie und ebene Trigonometrie“, München 1793, die einen eigenenAbschnitt darüber enthält.

’) Polygonometrie ou de la mesure des figures rectiligneB etc., Geneve 178'J,4°. Es scheint dies das erste Lehrbuch der Polygonometrie zu «ein. Masche-ronis „Metodo di misurare i poligoni“, Pavia 1787, konnten wir nicht einsehen.*) Dieselben stehen a. a. 0. p. 18 und 20. *) Geometrie de position, 1803, p. 300.