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Abschnitt XXIII.
rithmus einer Zahl ohne Tafel zu finden und beruhte auf der Dar-stellung desselben durch einen Kettenbruch. War z. B. der Loga-rithmus von 202144 zur Basis 128 zu bestimmen, so setzte mani
p -f —
128 » = 202144, daraus folgt sofort p = 2, und hiermit leicht10'' = 128; ist jetzt q = /• -f- * , so folgt wieder ;• = 1 und hiermit8' = 10 usw., so daß sich schließlich der gesuchte Exponent in derForm 2 + --- =2* darstellt. Fast genau die gleiche Methode
’ r i+ f1 3
hat 1795 der Amerikaner David Rittenhouse (4732—1790) ge-geben 1 ), ob mit oder ohne Kenntnis von Bürjas Abhandlung, läßtsich wohl nicht mehr feststellen.
In allen Tafelwerken jener Zeit wurde natürlich, wie auch heutenoch, der Zahl .-r gedacht; so finden sich z. B. in Lamberts Samm-lung (Tafel XXIV) rr, log;r, ^ \ auf 18 Dezimalen angeführt,
und Yega gab in seinem Thesaurus (p. 633) tc auf 140 Stellen an,von denen 130 richtig sind. Die Methoden, mit denen man it be-rechnete, beruhten hauptsächlich auf dem Kunstgriff, den zuerst
Machin angewendet hatte (vgl. III 2 , S. 304 — 365), nämlich n in die
Summe zweier oder mehrerer Bögen mit rationalen Tangenten zuzerlegen, die dann einzeln mit der Arkustangensreihe berechnetwurden. Euler war es, der zuerst diesen Gedanken wieder aufgriffund auf das vollkommenste ausbeutete, indem er schon 1737 2 ) durchEinführung spezieller Zahlenwerte in die allgemeine Formel
arctg 1 = arctg * + arctg „ , q -. „
h P n P + <1 h p-+P'i +1
solche Zerlegungen vornahm und außerdem die Reihe
i «*> , (IX - 1/ , u - u . . C - u
arctg = arctg —+ arctg . — -f arctg , , - + • • •° y ° ay-\-x D cb-f-1
c — b
herstellte, die z. B. für * = 1, a, b, c, . . . gleich den ungeradenZahlen der Zahlenreihe die Reihe
■' Metliod ot raising the common Logarithm of any Xumber immediately(gelesen am 12. August 1795). Transactions of the American philosophical Society ,I\ , Philadelphia 1799, p. 69—71, Xr. IX. *) De variis modis circuli quadra-turam numeris proxime exprimendi. Comment. Acad. Petrop. IX, 1737 (er-schienen 1744), p. 100.