Trigonometr. und andere Tafeln. Zyklometrie. Trigonometr. Reihen. 443

7T

7

arctg l + arctg 0 1

2 4

arctg

2 • 9

+ arctg- - +

lieferte. Auf solche auch vom analytischen Standpunkt interessanteReihen kam er später (1762/63) noch einmal zurück 1 ), indem er sichmit ihrer Summation beschäftigte. Daran anschließend hat dannJohann Friedrich Pfaff (1765—1825), Universitätsprofessor zuHelmstiidt und dann zu Halle, diese Reihenkategorie von allgemeineremStandpunkt systematisch untersucht 2 ) und zu den schon von Euler summierten Reihen auch noch solche hinzugefügt, deren Summe durcheinen Bogen ausgedrückt wird, dessen Tangente transzendente Größeneinschließt.

Eulers Formeln wurden viellach zur Berechnung von x benutzt (vgl.S.299,300). So hat z.B. Yega das oben angeführte Resultat aus derEuler-7t » 1 3

sehen Formel 7 — 5 arctg - + 2 arctg - gewonnen, wozu er noch

zur Kontrolle = 2 arctg 4 - 4- arctg * nahm, und Karl Buzen-

geig er (1771—1835), zuerst Magister in Ansbach , dann Professorder Mathematik in Freiburg im Breisgau, gab die auf ähnliche Weisegebildete neue Formel:

= 8 arctg

io

b olo

an, die auf sehr rasch konvergente Reihen führt. Ebenso teilteCh. Hutton, dem wir schon wiederholt begegneten, drei ähnliche

Zerlegungen von ^ mit 4 ), berechnete aber die Teilbögen nicht mit

der gewöhnlichen Arkustangensreihe, sondern mit der viel rascherkonvergenten Reihe:

. t , 2/ t- \ , 2-4/ < s \ - 2 • 4 ■ 6 / t- \ 3 .

arct ^ r/ ~ i -m* j 1 + y(i 4 - «=) + 375(1+7) + 8 ~ 6 :t(i +(») + '

die er durch Transformation aus ersterer erhielt. Euler hatteübrigens diese Reihe schon 1755 in seiner Differentialrechnung auf-gestellt 5 ) und teilte sie 1779 der Petersburger Akademie mit, indemer durch Einführung derselben in die Formel

*) De progressionibus areuum circularium, quorum tangentes secundumeertam legem proceduut. Xovi Comment. Acad. Petrop. IX, 17(52 63 (er-schienen 1764), p. 40—52. *) De progressionibus areuum circularium etc.,

wie bei Euler , Nova Acta Acad. Petrop X, 1792 (vorgelegt 1795, erschienen1797), p. 123—184. 8 ) Klügel, Wörterbuch I, p. 666. 4 ) P. T. 1776, p. 476.Vgl. über die weitere Geschichte dieser Reihe, die wiederholt neu gefundenwurde, Glaisher in Messenger of Mathematics II, 1873, p. 119ff. 6 ) Pars II,Kap. 2, p. 318.