444

Abschnitt XXIII.

1 3

x. = 20 arctg _ -f- 8 arctg

die äußerst bequeme Formel:

* = 28 (i + 2 ( 2 \ + 2 :VJ-\

4 10 l '3 (lOO) '3-5 \10o/

+

30366 ^ -100000 \ 1

•> / 144 \3 1100000/

2 ■ 4 / 144 \ä .

3 • 5 1100000/ ’ '

erhielt. Mit ihr berechnete er, nach seiner Angabe, ;r in einer Stundeauf 20 Dezimalen 1 ).

In einer anderen Abhandlung vom 17. Juni desselben Jahres 2 )bildete Euler die leicht zu beweisende Gleichung:

X XX

, x c, C dx , / xdx , / x-dx

arCt J? r-* = 2 J 4 + ** + 2 J 4 + + J 4 + *« -0 0 0

entwickelte diese Integrale in Reihen, setzte x = ~ und daun = *und erhielt dadurch Reihen für arctg * und arctg -1-, welche in dieGleichung * = 2 arctg * -f- arctg * eingesetzt ebenfalls einen zur Be-rechnung von 7i brauchbaren Ausdruck lieferten.

Zu einer anderen interessanten Abhandlung über das hier einschlägigeGebiet wurde Euler durch einen von Descartes gemachten Versuch derKreisrektifikatiou veranlaßt 3 ) (vgl. S. 259, 260). Zu diesem Zweck hatteDescartes an das Quadrat bf (Fig. 25) das Rechteck c(f, dessen vierteEcke auf der Diagonale liegt und dessen Fläche

C O

gleich * des Quadrates ist, angelegt, an dieseswieder ein Rechteck dlt = ) des vorhergehen-

den us w. Dadurch war er schließlich zu einem Grenz-punkt x gelangt, der so liegt, daß ax dem Durch-messer des gesuchten Kreises gleich wird. Dabeihatte er angegeben, daß ab der Durchmesser desdem Quadrate eingeschriebenen Kreises, ac derDurchmesser des dem Achteck eingeschriebenen,ad jener des dem Sechzehneck eingeschriebenen Kreises usw. ist, so

Fig. 2ö.

’) Investigatio quarundam serierum, Nova Acta Acad. Petrop. XI, 1793,p. 133 ff., gelesen am 7. Juni 1779 (erschienen 1798), p. 133. In einem anderenAufsatze, der erst 1862 in den Opera posthuma L. Euleri von P. H. Fuß etNie. Fuß I, p. 288 veröffentlicht wurde, wird diese Reihe noch auf einem etwasanderen Wege abgeleitet. Dort findet sich obige Angabe für die Zeit der Be-rechnung. *) Nova Acta Acad. Petrop. XI, p. 150. *) Oeuvres de Descartes