Trigonometr und andere Tafeln. Zvklometrie. Trigonometr. lieihen. 445
daß endlich ax der Durchmesser des dem Polygon mit unendlichvielen Seiten eingeschriebenen Kreises, d. h. der gesuchte Kreisdurch-messer selbst wird. Euler beweist nun zunächst die Richtigkeitdieser Konstruktion und leitet daun aus ihr die Formel
1,7r , 4
8' 32 ^ ‘ ’ ' = Tr
ab. Diese Reihe gibt ihm aber sofort Veranlassung, die Summe derallgemeineren Reihe tg qc + 1 tg ^ -+- -j- tg ^ • • • zu suchen, die
, TT , 1 , TT 1 , TT
Kr 4 - tcr 4-
er auch leicht in der Form —-2 ctg 2 g) findet. Aus dieser Glei-
chung wird dann unter anderem auch die Faktorenfolge gewonnen:
2 cp . i qp qp qp \
. \ = 1 : cos cp cos -- cos .- cos „-•••),sin 2 (p \ 2 4 o /
die im speziellen für cp = jene schon \ ieta bekannte Beziehung
liefert (vgl. II 2 , S. 595), welche als das erste unendliche Produkt gilt 1 ).
Auch Eulers jüngerer Zeitgenosse Lambert hatte schon 1758 andie Quadraturversuche des Gregorius a St. incentio (II 2 , Kap.81) an-knüpfend eine Ableitung dieser Faktorenfolge in einer Abhandlung")«•e'reben, auf deren Inhalt wir, soweit er UDser Gebiet betrifft, nochkurz eingehen wollen. Er sagt daselbst, da die Länge eines Kreis-bogenstückes AM = v (Fig. 2ti) zwischendem Sinus *45 = y und der Tangente AFliegt, so wird es auf der Verlängerung desDurchmessers .1 B = 2 einen Punkt P inder Entfernung AP = z geben, der mit Mverbunden, einen Punkt Q auf AF liefert,der zwischen S und F liegt. Bezeichnetman MS mit x = sinvers r, so ergibt sich
leicht die Beziehung z = VX -. Wenn man
° V ~y Fig.S6.
in dieser x und y durch die bekanntenReihen ersetzt, so findet man zunächst für z die Reihe
Ed. Cousin, XI, p. 442—443. Eulers Abhandlung führt den Titel: Annotatio-nes in locurn quondam Cartesii ad cireuli quadraturam spectantem. Xov. Comment.Acad. Petrop. VIII, 1760 61, p. 157 ff. (erschienen 1763). Später gab auch J. F r.de Tuschio a Fagnano in Acta Eruditorum 1771, p. 406—418 einen Beweis derKonstruktion.
') Übrigens hat Euler diese Formel von anderen Betrachtungen ausgehendschon früher gefunden: Comment. Acad. Petrop. IX, 1737 erschienen 1744),p. 234—235. Sie tritt auch wieder auf in Opuscula analytica L. Euleri, Petro-poli 1783, 4°, p. 345. s ) Observationes variae in mathesin puram. Acta
Helvetica III. Basileae 1758, § 10, p. 132.