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Abschnitt XXIII.
» = 3_?' 2 — I' 4 -I_ _1_ . . .
10 1 4200 1 1 126000 V ' ’
durch welche V so bestimmt wird, daß AQ = v ist. Nimmt manferner z = 3 an, so ergibt der hierdurch bestimmte Punkt F einesehr einfache und genaue Methode zur Rektifikation des Bogensv = AM = A Q. Lambert weist die Richtigkeit seiner Behauptungdadurch nach, daß er mit seiner Formel eine kleine Tabelle berechnetund die Unterschiede der gefundenen und der wahren Werte bestimmt,4\ eiter ergibt sich aus der Figur die Proportion
QS : SF = (1 - x) : (3 - x),
aus welcher für sehr kleine x (x = 0) folgt, daß FQ='2S(J odertg v — v = 2 (v — sin v) ist, woraus
tg c 4- 2sine , 180° tg t°-J-2 sin e°
arco = ——4- und ,t = <0 - °
ö V ö
sich viel genauer ergibt, als w^enn man, wie gewöhnlich, das arith-metische Mittel zwischen tg v und sin v, oder den Seiten der um- undeingeschriebenen Polygone bildet.
Nicht unerwähnt wollen wir auch die Versuche lassen, welcheim fernen Japan in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts gemachtwurden, um die Zahl -t auf eine größere Anzahl Dezimalen zu be-stimmen, und welche beweisen, daß die Japaner damals im Besitzevon Methoden waren, die im Abendlande der Erfindung des Infini-tesimalkalküls unmittelbar vorhergingen.
Japans berühmtester Mathematiker Köwa Seki ^vgl. III 2 , S. 669)gilt als der Erfinder eiuer solchen Methode, und aus der von ihmgegründeten Schule gingen mehrere Mathematiker hervor, die seineErfindung ausbauten. Bemerkenswert sind einige unendliche Reihenfür arcsin x, welche sich bei verschiedenen japanischen Mathematikernfinden. So wurde in dem Werke Ho en san Kvo von Yoshihide
Matsunaga von 1739 der Wert von .t auf 50 Stellen für x — ~
aus der gewöhnlichen Arkussinusreihe berechnet, die Newton (IIPS. 74) in seiner Analysis per aequationes abgeleitet hatte 1 ). Ajima(oder Yasujima?) 2 ) aber (etwa 1737—1797) gab außer jener Reiheauch noch die zwei folgenden:
i = Ct
V (arcsin x x]/l — x s ) — x — ^ . ,
_ y = l
1 • 3 • 5 . . . (2 — 3 )
2•4 • 6 ... 2 ß