Trigonometr. und andere Tafeln. Zyklometrie. Trigonometr. Reihen. 447
Ulld
arcsin x = |/l
i = ü
1 • 3 ■ 5 ... (2 ß -f i) * ' J
Außerdem finden sich in japanischen Schriften aus jener Zeit auchDarstellungen der Zahl ^ durch Näherungswerte von Kettenbrüchen 2 ).So stammt von Y. Arirna aus dem Jahre 176*5 der auf 12 Stellen
richtige Xäherungsbruch und der auf 30 Stellen zutreffende
° ° I<*2o033
Bruch
428224593349304136308121570117 ’
während G. Kurushima (f 1760)
98548
9985
angab.
Versuche, den Charakter der Zahl tc zu ergründen, warenschon von De Lagny (III 2 , S. 120) gemacht worden. Derselbe warbereits 1719 zu dem wichtigen Satze gelangt 3 ), den er allerdingsnicht beweisen konnte, daß, wenn die Tangente eines Bogenseine rationale Zahl ist, der Bogen selbst irrational seinmuß, und hatte daraus die Folgerung gezogen, daß die Kreisrektifikationdurch Radius und Tangente geometrisch unmöglich sei 4 ). DieserSatz war es, der Lambert zum Ausgang seines Beweises für dieIrrationalität von tc im Jahre 1767 diente 5 ), und den er „außerordentlichscharfsinnig und im wesentlichen einwandfrei“ gestaltete 6 ).
Lamberts Zeitgenossen scheinen allerdings entweder seine Arbeitnicht beachtet oder die Bedeutung des Schrittes, den er in der Er-kenntnis des Charakters der Zahl tc durch diesen exakten Beweis ge-
*) Auf die hier mitgeteilten Reihen ist von P. Harzer: „Die exaktenWissenschaften im alten Japan 1 -, Rede gehalten zu Kiel am 27. Januar 1905, hin-gewiesen worden (p. 33—34). Daselbst werden auch die Quellen, aus denenHarzer geschöpft hat, genau angegeben. *) Harzer, a. a. O., p. 29, Anmerk. 5.Vgl. auch T. Hayashi, The values of 7t by the japanese mathematicians oftlie 17 th and 18"“ centuries. Bibliotheca math 1902, p. 273—275. s ) Memoiresde TAcad. de Paris , 1719, p. 141. 4 ) Ebenda, 1727, p. 124—125. °) Me-
moire sur quelques proprietes remarquables des quantites transcendentes circu-laires et logarithmiques. Lu en 1767. Histoire de l'Acad. de Berlin 1761 (sic!;,p. 265—322, und in populärer Darstellung in den Beiträgen zum Gebrauche derMathematik II, p. 140—169. ®) Man sehe über den Wert von Lamberts Be-
weis: A. Pringsheim, „Uber die ersten Beweise der Irrationalität von e und tc":Sitzungsberichte der math.-phys. Klasse der k. bayr. Akad. der Wissensch. 1898,XXVIII, Heft 2, p. 325—337. Hierzu sei noch bemerkt, daß Lambert in seinerErkenntnis noch weiter ging, indem er in einem Briefe an Holland (Lambertsdeutscher gelehrter Briefwechsel, herausgegeben von J. Bernoulli , I, p. 254)sagt: „Die Art, wie ich dies bewiesen habe, läßt sich so weit ausdehnen, daßzirkuläre und logarithmische Größen nicht Wurzeln von rationalen Gleichungensein können“.