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Abschnitt XXIII.

tan hatte, nicht erkannt zu haben, sonst hätte nicht selbst Eulernoch 1771 seine ziemlich unfruchtbaren Spekulationen über die Mög-lichkeit oder Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises, die er bereitsin der Introductio 1 ) an die Lösung transzendenter Gleichungen, wieS — cos Df s = sin 2 s usw. angeknüpft hatte, wiederholen können 8 ).Der ganze Charakter von Lamberts auf absolute Exaktheit zielenderBeweisführung steht eben so ganz außerhalb der fast nur auf for-male Erweiterung der Mathematik hinzielenden Tätigkeit seiner Zeit-genossen, daß eine Nichtbeachtung derselben wohl verstandenwerden kann.

Haben wir uns mit der Besprechung der Methoden zur Berech-nung der Zahl rr bereits einen Übergriff in das Gebiet der Analysiserlaubt, so müssen wir auch noch in kurzem der übrigen Errungen-schaften auf diesem Gebiete gedenken, die mit den trigonometrischenFunktionen in Zusammenhang stehen. Wir erinnern uns (IIP, S. 71(>bis 717), daß Euler schon in der Introductio 1748 und noch früher(1743) 3 ) die Summe einer endlichen Zahl von Sinus oder Kosinus,deren Argumente in arithmetischer Progression fortschreiten, auf nichteinwandsfreie Weise gewann, indem er sich divergenter unendlicherReihen bediente. Die einfachen und stichhaltigen Ableitungen, derenwir uns heute noch bedienen, haben erst KlügePj, Cagnoli 5 ) undspäter wieder Francesco Pezzi 6 ) (f 1813), Ingenieur und Professorder Mathematik an der Universität Genua , gegeben, und Cagnolihat auch noch die Summen der w'™ Potenzen der Sinus und Kosinussolcher Winkel berechnet, nachdem schon 1748 Gregorio Fontana1^1735—1803), der Nachfolger Boscovichs an der Universität Pavia war, eine Ableitung dieser Summen mit Hilfe des Imaginären mit-geteilt hatte 7 ). Aber auch diese Gelehrten glaubten noch alle dieReihen ohne Rücksicht auf Konvergenz oder Divergenz ins Unend-liche fortsetzen zu dürfen.

Auch für die längst bekannten Formeln, welche den Sinus undden Kosinus ganzzahliger Vielfachen eines Winkels durch die Potenzender Sinus und Kosinus oder einer dieser Funktionen allein ausdriicken,haben Kliigel 8 ), Cagnoli 9 ) und andere neue Ableitungen gegeben,

’) B, II, Kap. 22. *) Considerationes cyclometricae. Xovi Commentarii Acad.

I’etrop. XVI, p. 160 tf. *) Miscellanea Berolinensia VII, p. 129. 4 ) Analytische

Trigonometrie 1770, p. 39—43. 5 ) Trigonometria, 2. Aufl., p. 117—118.

®) Memorie dclla Societä Italiana XI, 1803, p. 21 ff 7 ) Ebenda, II, 1784,

p. 424 ff. ®) Analytische Trigonometrie 1770, p. 46—65. 9 ) Cose trigonometriche,

Memorie della Societä Italiana VII, 1794 und Trigonometria, p. 104—108, wo-selbst übrigens wieder kritiklos unendliche Reihen benutzt werden. In demselbenKapitel IX werden auch die umgekehrten Formeln für sin x " und cos x n mittelsdes Imaginären abgeleitet.