Allgemeines. Kegelschnitte.

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Mechanismus der Rechnungen verglichen wird) ans Ziel führen läßt.„Er kommt vielleicht früher ans Ziel, aber er hat weniger gesehen.“— Eine besondere, eingehende und geistvolle Untersuchung hatKlügel dieser Frage gewidmet mit einer kleinen Schrift: „De rationequam inter se liabent in demonstrationihus mathematicis metbodussynthetica et analytica“. Helinstädt 1767. Es wird darin zunächstder Unterschied zwischen synthetischer und analytischer Methodeklar und scharf angegeben, der nicht sowohl darin besteht, ob Kon-struktion oder Rechnung benutzt wird, sondern „ex interiore veritatumnatura, et ratione quam in eruendis illis et deducendis sequuntur,peteudum est“. Als charakteristisch für die synthetische wird an-gegeben, daß sie „die Quelle der Erfindung verdecke“ und die etwasmalitiöse Bemerkung beigefügt, die Synthetiker (die Engländer, unteranderen Newton und Maclaurin werden genannt) tun dies, „umaus der Schwierigkeit der Beweise eine größere Berühmtheit ihresGeistes zu erlangen“; als weiterer Grund wird indes noch angegeben,daß sie „diese Methode allein als der Geometrie und der Mathematiküberhaupt würdig, und der größten Strenge fähig ansehen“. Es wirddann weiter ausgeführt, daß bei der synthetischen Methode jeder Satzfür sich aufgestellt und bewiesen werde; daher komme es, daß dieGeometrie manchem „horrida et sterilis“ erscheine, daran schließt sichdie ganz richtige Bemerkung, daß die Evidenz der geometrischen Be-weise dazu verleite, diese Methode auf andere Wissensgebiete zu über-tragen, für die sie nicht passe. Die synthetische Methode sei auchzur Entdeckung neuer Wahrheiten weniger geeignet, außer in denHänden des Genies, was auch Kästner in der erwähnten Vorredeeinmal sagt. Ferner wird hervorgehoben, daß die synthetische Methodeimmer nur Einzelfälle ins Auge fassen und jeden für sich beweisenmüsse, während die analytische Formel einer vollständigen Allgemein-heit sich erfreue. Ein Beispiel für die Richtigkeit dieses letzterenSatzes bietet die synthetische Untersuchung der Kegelschnitte, wojede der drei Kurven für sich betrachtet wird, während bei der ana-lytischen Behandlung in der Regel ein Zeichen Wechsel genügt, umeinen für die Ellipse gefundenen Satz auf die Hyperbel zu übertragenDemgegenüber werden die Vorzüge der Analysis entwickelt, wobeinoch ein Gedanke ausgesprochen wird, den wir nicht unerwähntlassen wollen, nämlich: „Wenn uns jemals die Fähigkeit gegebenwerden könnte, die Wirkung jeder Ursache mit ihren Folgen für alleübrigen für sich zu betrachten und mathematisch zu formulieren, sowürde die ganze Natur, soweit sie meßbar ist („quanta quanta est“),in einem einzigen, aber gewaltigen analytischen Problem bestehen“.Es ist hier offenbar die Idee, die der sogenannten Laplaceschen