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Abschnitt XXIV.

lind daraus:

CA 2 : (CA 2 - CP 2 ) - VS 2 : (FS 2 - HS ■ GS)

oder:

CA 2 : CF 2 = VS 2 : VC 2 .

Nun ergibt sich aber durch ähnliche Dreiecke:

VS : VG = CA : CM ;

also nach der letzten Gleichung:

Ferner ist:

.4 M - CF.

A M : CA = LA: DA,

also, da A M = CF und LA = FA (nach Voraussetzung):

oder auch:

Daraus folgt aber:

CF : CA = FA : DA,

CF: FA = CA : DA.

CF: CA = CA : CD.

Darnach ist aber D der Schnittpunkt der Achse mit der Direktrixund da s _L AD ist, so ist s die Direktrix, q. e. d.

2) ist zu beweisen, daß die Entfernung eines beliebigenPunktes des Kegelschnitts vom Brennpunkt F gleich demStück seiner Mantellinie zwischen dem Kreis LO und demPunkt ist. Als dieser beliebige Punkt wird der schon vorher defi-nierte Punkt P benutzt, so daß auch C nicht mehr der Mittelpunkt,sondern einfach der Fußpunkt des Lotes von P auf AD ist, wasaber nicht bemerkt wird; es ist also zu beweisen, daß PF—NP.Zu diesem Zweck wird durch P eine Parallele zu AB gezogen, dieS in F trifft, dann ist PF == CD. Ferner, da DK Direktrix ist:

PF: PF = AF: AD.

Aus dem Proportionallehrsatz folgt:

ML : CD - LA: DA.

Da PE = CD und LA = AF ist, ergibt sich aus den beiden letztenProportionen:

ML = PF,

und da ML = PN, so ist:

q. e. d.

PF = NP,