Allgemeines. Kegelschnitte.

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Hierher gehört eine Reihe von Sätzen, die Edward Waring 1 ! in seinemeigenartigen Buch: „Proprietates algehraicarum curvarum“ (Cambridge 1762), meist ohne Beweis, angibt. Es ist ein geistreiches, vielseitiges Werk,durchaus original gedacht, und jedenfalls eiue der bedeutendsten Erschei-nungen der ganzen Epoche auf diesem Gebiet, leider aber durch die knappeAusdrucksweise und überhaupt durch die ganze Darstellung nichtleicht verständlich. Das Buch scheint wohl aus diesem Grundeden Zeitgenossen, wenigstens auf dem Kontinent, ziemlich unbekanntgeblieben zu sein; in den zahlreichen Abhandlungen unseres Zeit-raumes, ebenso bei Klügel (Mathematisches Wörterbuch) konnte iches nicht erwähnt finden 2 ); auch sind die von Waring angegebenenneuen Gedanken und Gesichtspunkte, soviel ich sehe, nicht weiterverfolgt worden. — Das Werk ist in 4 Bücher eingeteilt, von denenhier hauptsächlich das vierte Buch in Betracht kommt. Das vonWaring ausgedachte Prinzip, aus dem er seine Sätze herleitet, wirdfolgendermaßen formuliert: „quantitates, quae ad singulum curvaepunctum recipiant maximum vel ininimum, perpetuo evadunt inter seaequales“. Der Sinn dieses in seiner Kürze nicht recht klarenSatzes ist etwa folgender: Man kann die Bedingungen aufstellen,unter welchen irgend eine Größe für einen Kurvenpunkt einen extremenWert annimmt (so ist z. B. für einen Punkt P einer beliebigenKurve die Summe seiner Entfernungen von zwei festen Punkten F xund F ,j dann ein Minimum, wenn PF X und PF 2 mit der Kurven-tangente gleiche Winkel bilden). Wenn es nun eine Kurve gibt, wodiese Bedingung für jeden Kurvenpunkt erfüllt ist (also in dem ange-führten Beispiel die Ellipse), so ist für diese Kurve die betreffendeGröße konstant. Dieses Prinzip wird nun z. B. in folgender Weisebenutzt: Es wird bewiesen, daß ein Vieleck, das einem geschlossenenOval so umbeschrieben ist, daß seine Seiten von den Berührpunktenhalbiert werden, unter allen dem Oval umbeschriebenen Vieleckenvon gleicher Seitenzahl den kleinsten Inhalt hat. Daraus wird nungeschlossen, daß alle solche Vielecke, die demselben Oval umbeschriebensind, gleichen Inhalt haben. Ob es aber überhaupt mehrere solchegibt, und wie man sie findet, diese Frage wird gar nicht berührt.Solche und ähnliche, für beliebige Ovale geführte Beweise werdendann auf Kegelschnitte angewendet und liefern Sätze wie die folgenden:

Sind einer Ellipse zwei Polygone von gleicher Seitenzahl so um-beschrieben, daß jede Seite von ihrem Berührpunkt halbiert wird, sohaben sie gleichen Flächeninhalt (Theorem 19).

Verbindet man die Ecken (oder Berührpunkte) beider Polygone

*) S. Ü2tf. *) Dagegen ist bei Chasles, Apercu historique, p. 153, dasBuch erwähnt.

CantoK, Geschichte der Mathematik IV.

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