468

Abschnitt XXIV.

mit dem Mittelpunkt, so ist die Summe der Quadrate dieser Verbindungs-linien für beide Polygone dieselbe.

Werden einer Ellipse zwei Polygone von gleicher Seitenzahl soeinbeschrieben, daß je zwei anstoßende Seiten mit der Tangente imEckpunkt gleiche Winkel machen, so haben sie gleichen Umfang

Sind einem Kegelschnitt(Fig. 30) zwei Polygone vongleicher Seitenzahl so einbe-schrieben, daß je eine zwei Sei-ten spannende Diagonale derTangente des gegenüberlie-genden Eckpunkts parallelist (also z. B. AC \\BT)\\C l I) 1 usw.), so habendie Polygone gleichen Inhalt(Probl. 24, Exempl. 2) u. ii.Was die Darstellungs-weise betrifft, so werden zunächst die Sätze, meist ohne Beweis, an-geführt; erst am Schlüsse wird das Prinzip genannt, aus dem siefließen und das hier zum besseren Verständnis vorangestellt wurde.Mit diesem Prinzip verbindet Waring ein zweites, dessen Inhalt fol-gender ist: Eliminiert man aus zwei Gleichungen in x und y vomGrade m und n eine Unbekannte, etwa x, so ist für die resultierendeGleichung in y die Summe der „Wurzeln“ (d. h. der Ordinaten derSchnittpunkte der beiden durch die Gleichungen dargestellten Kurven)gleich dem negativen Koeffizienten des zweithöchsten Gliedes in y,also des Gliedes von der Ordnung mn — 1. Dieser hängt aber nurvon Koeffizienten der Glieder höchster und zweithöchster Ordnung inden beiden ursprünglichen Gleichungen ab. Das Gleiche gilt natür-lich bei der Elimination von y. Stimmen also zwei Paare vonGleichungen in diesen Gliedern überein, so ist die Summe der Schnitt-punktskoordinaten der ihnen entsprechenden Kurvenpaare beidemaldieselbe. Da Waring jedoch seinen Sätzen meist keine Beweise bei-fügt, so ist nicht recht ersichtlich, wo und in welcher Weise diesesPrinzip Anwendung findet 1 ). — Wir werden von Warings Buchnoch öfter zu sprechen haben.

(Theorem 20).

Fig. 30.

') Auch hier ist es vielleicht von Interesse, die Formulierung bei Waringkennen zu lernen: „Sint duae aequationes (m et n dimensionumi duas incognitasquantitates x et y habentes; reducantur hae duae aequationes in unam, ita utexterminetur altera’incognita quantitas x: si aequatio resultans ad nm dimen-siones ascendat, summa eius radicum pendet e terminis, in quibus inveniuntur