Allgemeines. Kegelschnitte.
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Es sind in diesem Zusammenhang (Maxima und Minima) nocheinige Abhandlungen von Euler und Fuß zu nennen. Die erstevon Euler: „De ellipsi minima dato parallelogrammo rectangulo cir-cumscribenda“ 1 ) ergibt das Resultat, daß die Halbachsen der gesuchtenEllipse a=/’|/2; b = g}/2 sind, wenn /'und <7 die beiden Rechtecks-seiten bezeichnen. Auch für die Ellipse von kleinstem Umfang wirddie entsprechende Aufgabe in Angriff genommen, die natürlich hiernur durch ein Annäherungsverfahren lösbar ist. Das hier für einRechteck gelöste Problem hat Euler später auf ein beliebiges Vier-eck verallgemeinert in einer Arbeit vom 4. September 1777 2 ): „Pro-blems geometricum, quo inter omnes ellipses, quae per data quatuorpuncta traduci possunt, ea quaeritur, quae habet aream minimam“ 3 ).Die hier gestellte Aufgabe wird in der Weise gelöst, daß zwei Gegen-seiten des Vierecks ABC1), AB und CI) als Koordinatenachsendienen, und ihr Schnittpunkt 0 als Anfangspunkt. Zur Abkürzungwird nun gesetzt: OA — a, OB=b, OC = c und Ol) = d, und ge-zeigt, daß ein Kegelschnitt:
A x* -f 2 Bxy + Cy* + 2 Dx + 2 Ey E = 0durch die vier Ecken des Vierecks geht, wenn
A = cd, C = ab, 21) = — cd(a + b)-, 2E = — ab (c + rf); E = abcd
ist; hierbei ist also B noch willkürlich und wird als variabler Para-meter eingeführt, so daß die Fläche des Kegelschnitts als eine Funk-tion von B erscheint. Es mag bemerkt werden, daß die etwas um-ständliche Integration, die zur Berechnung dieser Fläche führt, ineleganter Weise durch Benutzung der affinen Verwandtschaft vonKreis und Ellipse bewerkstelligt wird. Der so gewonnene Ausdruckwird nach B differenziert und liefert als Bedingung für den kleinstenInhalt folgende Gleichung 3. Grades für B:
E B 3 - 4 DE ■ B* + B ( 3 CD* + 3 AE* - ACF) - 2ACDE - 0,
wo natürlich für die Koeffizienten A, V, D, E, F. . . ihre oben be-
n et 11 — 1 dimensiones in una, m et m — 1 dimensiones in altera, et sic de-iuceps; et exinde: si modo sint duae aliae aequationes n et m dimensionum,quae involrant quantitates z et v, et sint termini in his respectivis aequationibus,in quibus inveniuntur dimensiones n et n — 1, m et m — 1 reBpeetive, iidemac in duabus praedictis aequationibus, tum summa omnium valorum quantitatumx et y eadem erit ac summa omnium valorum quantitatum z et
*) A. P 1780, TI. II, p. 3—17. *) In den X. A. P. und M. P. ist das
Datum angegeben, an dem die betreffende Arbeit vorgelegt wurde; hierauf be-ziehen sich die Angaben im folgenden. s ) N. A. P. IX, p. 132—145.