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Abschnitt XXIV.

stimmten Werte in a, h, c, d . . . einzusetzen sind. Euler zeigt noch,daß diese Gleichung mindestens eine reelle Wurzel hat und machteine Anwendung auf den Spezialfall des Parallelogramms.

In einer zweiten Abhandlung, die am gleichen Tage vorgelegtwurde, löst Euler dieselbe Aufgabe für das Dreieck. Sie ist betitelt:„Solutio problematis maxime curiosi, quo inter omnes ellipses, quaecirca datum triangulum circumscribi possunt, ea quaeritur cuius areasit omnium minima“ 1 ). Da sich hier von den fünf unabhängigenKonstanten der allgemeinen Ellipsengleiehung nur drei bestimmenlassen, so hängt der Flächeninhalt noch von zwei unabhängigenVariabein ab. Nimmt man zwei Seiten des gegebenen Dreiecks, etwaa und c, als Koordinatenachsen, so lautet die Gleichung der gesuchtenEllipse:

cx i -f- acxy + ny 2 — ac 2 x — a 3 cy = 0.

Aus dieser Gleichung leitet Euler her, daß der Mittelpunkt derEllipse in den Schwerpunkt des Dreiecks fällt, und daß die Tan-gente in jeder Ecke des Dreiecks der Gegenseite parallel ist. An dieerste dieser beiden Arbeiten knüpft Fuß in einer Note vom31. August 1795: „Dilucidationes super problemate geometrico de ellipsiminima per data quatuor puncta ducenda“ 2 ) an und diskutiert die dortgefundene Gleichung 3. Grades eingehender mit dem Resultat, daßvon den drei Wurzeln derselben eine eine Ellipse, die beiden andernHyperbeln bestimmen, die natürlich dem Problem in der EulerschenFassung nicht genügen, wohl aber, wie Fuß bemerkt, dem allgemei-neren: „Inter omnes lineas curvas secundi ordinis per data quatuorpuncta transeuntes eas invenire, in quibus rectangulum ex semiaxibusfactum sit omnium minimum“. Fuß berechnet ein Zahlenbeispiel undwendet seine Resultate auch auf den Fall an, daß statt zwei Punkteneiner mit seiner Tangente gegeben ist.

Um Eulers Arbeiten über Kegelschnitte hier vollends zu be-sprechen, sei noch eine Untersuchung von ihm erwähnt : „Solutio triumproblematum difficillimorum ad methodum tangentium inversam per-tinentium“. Die Arbeit wurde am 12. November 1781 eingereicht,aber erst 1826 veröffentlicht 3 ). Die späte Veröffentlichung erklärtsich damit, daß Euler vor seinem Tode den Wunsch geäußert hat,die Veröffentlichungen der Petersburger Akademie möchten noch20 Jahre nach seinem Tode Arbeiten von ihm enthalten 4 ), ein Wunsch,den die Akademie in Ehren gehalten hat (s. die Vorrede zu M. P. XI).Die drei Aufgaben, die Euler hier behandelt, sind:

*) N. A. P. IX, p. 146—153. *) Ebenda, XI, p. 187—212.

p. 16—26. 4 ) In den M. P. iat sogar von 40 Jahren die Rede.

*) M. P. X.