Allgemeines. Kegelschnitte. Höhere ebene Kurven.

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1) Alle Kurven zu finden von der Eigenschaft, daß die von zweifesten Punkten nach einem beliebigen Kurvenpunkt gezogenen Strahlenmit der Tangente gleiche Winkel machen.

2l Gegeben eine Gerade und auf ihr ein Punkt A. Von A istnach einem beliebigen Kurvenpunkt ein Strahl AP gezogen, der nachseiner Reflexion an der Kurve die Gerade in 0 schneidet. AlleKurven von der Eigenschaft zu finden, daß 4P + PO konstant sei.

3) Alle Kurven von der Eigenschaft zu finden, daß die von zweifesten Punkten auf eine beliebige Tangente gefällten Lote ein kon-stantes Produkt haben.

Die Untersuchung liefert das bemerkenswerte Resultat, daß sich inallen drei Fällen nur Kegelschnitte ergeben, daß es also außer diesenkeine Kurven gibt, die eine der genannten drei Eigenschaften besitzen.

In den A. E. (1771), p. 131 ff., leitet ein Anonymus einen nichtuninteressanten Satz her, den er selbst als „Theorema elegantissimum“bezeichnet, nämlich: Zieht man in einem Kegelschnitt von einemBrennpunkt 0 aus drei Radienvektoren OF, OG, OH und beschreibtum 0 einen Kreis mit dem Radius r = \~OF • OG - OH, der denKegelschnitt in F', G', H' schneidet, so ist:

p _ AF'G'H'r ~ A FGH ’

wo p der Parameter des Kegelschnittes ist (p =

Endlich untersucht Fuß in einer Arbeit vom 19. April 1798,betitelt: „Observationes circa ellipsin quandam prorsus singulärem“ 1 ),die Kurve, die entsteht, wenn man in einem Kreis um den Koordi-natenursprung jede Ordinate um ihre Abszisse verlängert. Die Kurveist eine Ellipse, von der eine Reihe merkwürdiger Eigenschaftennachgewiesen werden, z. B. gilt für ihre Halbachsen a und b: ab = r 2 \a — b = r (r = Radius des Kreises); die vier lunulae, die von demKreis und der Ellipse gebildet werden, haben gleichen Inhalt; dieDifferenz zwischen dem Umfang der Ellipse und dem des Kreises istnahezu gleich den von der Ellipse eingeschlosseuen Kreisbögen, u. a.

Höhere ebene Kurven.

Wie schon in der Einleitung bemerkt wurde, sind in der Theorieder höheren ebenen Kurven keine wesentlich neuen Ideen von allge-meinerer Bedeutung zu verzeichnen; die meisten einschlägigen Arbeiten

') N. A. P. XV, p. 71—87.