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Abschnitt XXIV.

sind Spezialuntersuchungen über einzelne Kurven und Kurvengattungen,die freilich manches Interessante zutage gebracht haben, aber meistisoliert stehen und wenig Zusammenhang miteinander zeigen. Da-durch ist natürlich die Übersicht über diesen Zweig der Mathematikund seine Entwicklung erschwert; immerhin lassen sich wenigstenseinige Gruppen verwandter Untersuchungen zusammenfassen. — DieLiteratur ist meist in Akademieschriften zerstreut; größere Werke,die sich speziell mit den ebenen Kurven befassen, sind wenig er-schienen. Zu nennen ist hier hauptsächlich das schon S. 467 an-geführte und charakterisierte Buch von Waring: „Proprietates alge-braicarum curvarum“. Über das auf die Kegelschnitte bezüglichevierte Buch ist oben schon berichtet worden. Hier ist nun der In-halt der beiden ersten Bücher in der Kürze anzugeben.

Das 1. Buch enthält allgemeine Sätze über algebraische Kurvenbeliebiger Ordnung und beginnt mit einer Definition der Durch-messer, von denen Waring verschiedene Ordnungen unterscheidet.Deren Definition läßt sich am einfachsten folgendermaßen angeben:\\ enn in einem schiefwinkligen Koordinatensystem zu jeder Abszissen -)- 1 — i Ordinaten einer Kurve w ,cr Ordnung gehören, deren“ al-gebraische Summe verschwindet, so heißt die Abszissenachse ein Durch-messer i leT Ordnung der Kurve. Es werden die analytischen Be-dingungen hierfür angegeben; für einen Durchmesser 1. Ordnung mußz. B. in der Kurvengleichung:

Aif + {a + bx) y"~ l + (c + dx + ex 2 )y"~' 2 + • • ■ = 0das 2. Glied mit f/" _1 verschwinden. Daran schließen sich Formelnfür Koordinatentransformation; mit Hilfe derselben wird z. B. untersucht,ob eine Gerade ein Durchmesser ist, indem sie einfach als Abszissen-achse eingeführt wird. Ferner wird die Anzahl der Durchmesser1. Ordnung bestimmt, die ihre Ordinaten unter einem gegebenenWinkel « schneiden, und gezeigt, daß diese Zahl höchstens = 2nsein, für a = 90° aber höchstens — n sein kann. Weitere Sätze, diesich hier anschließen und die der Verfasser als neu bezeichnet, siud:

Eine Kurve, deren Durchmesser alle parallel sind, hat keinehyperbolischen Äste, außer wenn die Asymptoten auch alle parallelsind, und keine parabolischen, wenn nicht alle nach derselben Rich-tung konkav oder konvex sind ; Theorem 2).

Es gibt nicht mehr als ~ Richtungen paralleler Ordinaten,

welche die Kurven in (n — ?«) Punkten schneiden (Theorem 5).

Es wird aus der Kurvengleichung eine Beziehung für die Ab-

o o O

stände eines Kurvenpunktes von 2, 3, 4 usw. festen Punkten herge-leitet (Problem 7).