Höhere ebene Kurven.

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Schneidet eine um einen festen Punkt rotierende Gerade dieKurve, so gibt es für jede Lage einen Punkt so, daß die algebraischeSumme der Abstände aller Schnittpunkte von diesem verschwindet.Der Ort dieser Schnittpunkte ist eine Kurve von höchstens w ,em Grad.

Eigenschaften, die nur von den Gliedern « ler und (n — l) 1 " Ord-nung abhanden, sind für zwei Kurven, die in diesen Gliedern über-einstimmen, dieselben; also hat z. B. eine Kurve mit ihren Asymptoten(diese als zerfallende Kurve n t< ' r Ordnung betrachtet) alle Durchmessergemein, ebenso alles, was von den Durchmessern abhängt, z. B. dieMittelpunkte (Mittelpunkt heißt bei Waring ein Punkt eines Durch-messers von der Art, daß die algebraische Summe der Abstände allerSchnittpunkte dieses Durchmessers von dem Punkt verschwindet),ferner die „curva diametralis“, die Waring definiert als: „locus ulti-marum diametrorum intersectionum“. Was damit gemeint ist, ist nichtrecht klar; vielleicht die Enveloppe der Durchmesser?

Von besonderem Interesse ist das 10. Theorem, welches behauptet,daß keine algebraische Kurve, die ein Oval ohne Doppelpunkthat, allgemein quadriert werden könne, oder, wie Waringsagt: „Nulla datur algebraica curva , quae habet ovalem sese in datopuncto liaud intersecantem, quae generaliter quadrari potest“. Es istdies offenbar derselbe Satz, der bei Newton , Principia I, Lemma 28,so lautet: „Nulla extat figura ovalis, cuius area, rectis pro lubituabscissa, possit per aequationes numero terminorum ac dimensionumfinitas generaliter mveniri“, und an den sich eine Kontroverse geknüpfthat 1 ). Der Beweis bei Waring ist so charakteristisch für dessenprägnante Ausdrucksweise, daß wir ihn hier im Wortlaut anführenwollen: „Inveniatur enim generalis expressio ad aream, e. g. terminisabscissae x, fiat haec expressio vel area impossibilis, cum x fiat a veln, et ovalis continetur intra valores abscissae a et jt; inveniatur fluxiodatae expressionis, sed inethodus fluxiones inveniendi eadem est acmethodus inveniendi aequationes, quarum radices sint limites interradices ci et x datarum aequationum; et si radices « et x datarumaequationum sint possibiles, possibilis etiam erit radix inter eas posita;ergo necessario ovalis se intersecabit“.

') Vgl. Brougham (ist der schon S. 456, Fußnote, genannte Mathematiker)and Kouth, Analytieal View of Sir Isaac Newtons Principia 1855), p. 73. Dortwird behauptet, der Satz sei falsch, da jede Kurve von der Form:

y m = n m x^”~^ m (a n — x n )

quadrierbar sei. Zeuthen hat darauf hingewiesen, daß diese Kurve gar keineigentliches Oval darstellt, sondern im Koordinatenursprung einen Selbstberüh-rungspunkt hat. (Sur quelques eritiques faites de nos jours ä Newton; Bulletinde l’Academie de Copenhague, 1895.)