474

Abschnitt XXIV.

Der Gedankengang scheint mir etwa folgender zu sein. IstÜ = f( x ) die Gleichung der Kurve, die das Oval bildet, und ist das-selbe zwischen den Ordinaten eingeschlossen, deren Abszissen u und x

sind; ist ferner F(x) =J f(x)dx, so wird sowohl f(x) als F(x) außer-halb der Grenze ci und x imaginär. Dann muß aber F(x), wenn eseine algebraische Funktion sein soll, zwischen u und x ein Maximumoder Minimum haben, und es wird dann F'(x)=f(x) = 0, d. h. das Ovalschneidet die Abszissenachse. Daraus schließt nun Waring, wenn ich denSchluß des obigen Beweises recht verstehe, ohne weiteres, daß das Ovalsich selbst schneide. Dabei müßte aber doch angenommen sein, daß dieAbszissenachse ein Durchmesser des Ovals ist; das wird aber nirgendsgesagt, ebensowenig wird eine scharfe Definition des „Ovals“ gegeben;auch was die „radices datarum aequationum“ sind, ist nicht recht klar;namentlich aber scheint mir nicht genügend berücksichtigt, daß wegendes Ovals f (%), und damit auch F(x), eine doppeldeutige Funktionsein muß, also noch mit einer Irrationalität behaftet ist.

Als eine „proprietas maxime elegans“ aller Archimedischen ParabelnId. h. Kurven mit lauter parallelen Durchmessern! wird folgenderSatz angeführt: Ist

if + ay n ~ l -f- (l cx)y”~ 2 + • • • = 0die Gleichung einer solchen Kurve, so ist deren Subtangente:

_ n y” -f- (n — 1) ay n ~ 1 -)- (»i — 2)(6 ex)//" -2 -f- ■ • •

c • z/" - 2 4.

Gibt man T einen konstanten Wert, so gibt es w* Kurvenpunkte, zudenen dieselbe Subtangente gehört, und für alle diese ist die Summeder Ordinaten konstant.

Ferner:

Ist die Gleichung einer Parabel:

y = ax” 4- bx n ~ 1 4- • • ■

und sind y x , y i , ... y„_ l die Ordinaten der Maximal- und Minimal-punkte, x 1} x 2 , .. . x n die Abszissen der Schnittpunkte mit der a>Achse,so ist:

_ V*-Vs ■■•Vn-i __ a”

(x, — x t y -••(*,- *„)* [x, - x,)»... (x 8 - j - x„p ~ n » ‘

Zu diesen und ähnlichen Untersuchungen bemerkt Waring mit be-rechtigtem Stolz, daß auch die algebraischen Sätze, die ihnen zu-grunde liegen, von ihm selbst gefunden seien. Der letzte Satz zeugtz. B. von der Kenntnis einer wesentlichen Eigenschaft der Dis-kriminante.