Höhere ebene Kurven.

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Das 2. Buch handelt von „Kurvoiden“. Die Bezeichnung istnach Analogie von „Cykloide“ gebildet, und bedeutet eine Verallge-meinerung dieser Kurve, d. h. eine „Kurvoide“ wird von einem festenPunkt einer Kurve beschrieben, wenn diese auf einer Geraden abrollt.Rollt sie, statt auf einer Geraden, auf einer anderen Kurve ab, soentsteht eine „Epikurvoide“. Behandelt werden insbesondere Aufgabenüber Rektifizierbarkeit und Quadratur der Kurvoiden, deren Lösung vonder Rektifizierbarkeit der rollenden Kurve abhängt. Auch wird der Satzaufgestellt, daß alle Kurven, die durch eine aequatio fluxionalis bestimmtsind, durch Kurvoiden und Epikurvoiden konstruiert werden können.

Das 3. Buch beschäftigt sich mit Raumgeometrie und wird imnächsten Kapitel besprochen werden.

Unter den kürzeren Abhandlungen allgemeineren Charakters seienzunächst einige aufgeführt, die sich mit den Formeln für den Krümmungs-radius, für Wende- und Rückkehrpunkte beschäftigen. Die erste ist einenicht ganz einwandfreie Schrift von Johann Jakob Hentsch (1723bis 1764, Professor der Mathematik in Helmstädt): „De curvis punctuminhexionis vel regressus habentibus“ 1 ). Schon die Definitionen, bzw. dieBegründungen seiner Bezeichnungen, die Hentsch gibt, passen nichtfür alle Fälle, wie man leicht sieht; sie lauten:

für den Wendepunkt: „punctum inflexionis ob mutatam curvaefaciem, rectae assumtae vel puncto lixo obversam“;

für den Rückkehrpunkt: „punctum regressus ob mutationeinmotus, qui ordine fit retrogrado et versus principium, aquo curva movericoeperat, respicit“.

Abgesehen von der mangelnden Klarheit gilt z. B. die erstenicht, wenn die recta assumta die Wendetangente ist. — Hentschfolgert nun daraus weiter:

1) Für einen Wendepunkt ist der Abschnitt der Abszissenachsezwischen dem Ursprung und der Kurventangente ein Minimum oderMaximum.

2) Für einen Rückkehrpunkt ist die Abszisse ein Maximum oderMinimum. (Dies ist aber offenbar auch der Fall, wenn die Kurven-tangente parallel der Ordinatenachse ist.)

Die analytischen Bedingungen, die Hentsch für Wende- undRückkehrpunkte herleitet, sind zum Teil sonderbar ausgedrückt, undlassen eine Verwechslung von Differential und Differentialquotient er-kennen. Er sagt z. B., in eiuem Punkt mit vertikaler Tangente seidy = oc (!), die Bedingung für einen Wendepunkt sei entweder(Py = 0, oder, bei vertikaler Wendetangente, d 2 y — oo (!). — Die

Nov. Act. Erud., 1762, p. 256.