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Abschnitt XXIV.

Betrachtungen werden dann auch auf den Fall ausgedehnt, „si inCurva Semiordinatae a puncto tixo dueautur“, d. h. auf Polarkoordi-naten.

Aus dem gleichen Jahre stammt eine Arbeit von Fontana 1 )über Kurven in Polarkoordinaten, nämlich: „De invenienda formularadii osculatoris in eurvis ad umbilicum relatis ex data formula eius-dem in eurvis relatis ad axem, eruendisque inde curvarum evolutis“ 3 ).Es handelt sich also um Übertragung der Formeln für Krümmungs-radius und Evolute von rechtwinkligen ( x , y) auf Polarkoordinaten0 , <?)•

Ist du — zdtp, so bestehen die Beziehungen:

a; 3 -f y 2 = 2 3 ; dx 3 + dy 2 = did + dz-.

Führt man mit Hilfe dieser Gleichungen z und u au Stelle von xund y in den bekannten Ausdruck für den Krümmungsradius p ein,so ergibt sich:

_ (dz' + du*)*'* _

^ ~ z(dzd f u — dud'z ) -f- du(dz* -j- du*)

Ist nun (s. Fig. 31) 0 der Koordinatenursprung, sind P und p

Fig. 31.

zwei konsekutive Kurvenpunkte,C und c die ihnen entsprechendenPunkte der Evolute, ist ferner aufOp eine Strecke Oli = OP undauf Oc ebenso 01 ) = 00 abge-tragen, endlich von 0 auf PC dasLot OF gefällt, so ist wegen derÄhnlichkeit der Dreiecke PBp,PFO und OFC , CDc :

Pp _ PP = PpPO~ PF FO

und

OF _ OCCI) — ~Cc’

*) Den Bericht hierüber verdanke ich einer gütigen Mitteilung des HerrnVivanti, der ursprünglich der Anwendung der Infinitesimalrechnung auf dieGeometrie ein besonderes Kapitel im XXVI. Abschnitt zu widmen gedachte.Da jedoch die meisten hierher gehörigen Arbeiten schon im XXIV. Abschnittbesprochen werden, hat Herr Vivanti nach einem Vorschläge des Herrn Heraus-gebers mir sein Manuskript in überaus dankenswerter Weise zur Verfügung ge-stellt, damit nicht derselbe Stoff in zwei verschiedenen Abschnitten behandeltwürde. Die Stellen, die von Herrn Vivanti herrühren, werden überall durchVerweisung auf diese Fußnote als solche bezeichnet werden. *) Analyseos

sublimioris opuscula (Venedig 1763i, Op. III, p. 120—130.