Höhere ebene Kurven.

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woraus sich ergibt:

und:

also ist:

vv = F 9 J ,R - _ z,lH .

Pp ydz'- -f- d a*

_ PF - Ep _ zd_z

“ pp " yiirfdii*’

rn _ 0F CcL1> — CO

FC = PC - PF

zdz Cc' \ dz’- ■)■</«* 0C>

zdu

ydz --)- du-

Setzt man nun OC = Z\ CD = dU, so ist nach dem Obigen:

z-uc- vor- + rc - + (e ■

und, da Cc = dg ist:

dU= CD =

zdu

Ydz' + du'j

y

«V

zdzdg

Vz t dz t + (<? Vdz‘ + du--zdu ) 2

Aus diesen Gleichungen in Verbindung mit der Kurvengleichungf(g } u ) = 0 ergibt sich durch Elimination von z und u die Differential-gleichung der Evolute.

Euler entwickelt die Formel für den Krümmungsradius aufelegante Weise in seiner Arbeit: „Methodus facilis investigandi radiuniosculi ex principio maximorum et miiiimorum petita“ 1 ) (11. Septem-ber 1776). Der Inhalt ist kurz folgender: Ist 0 ein Punkt auf derNormalen eines Kurvenpunktes Y, und ändert sich Ol nicht, wennman zum zweiten konsekutiven Kurvenpunkt weitergeht, d. h. OYzweimal differenziert, so ist 0 der Krümmungsmittelpunkt. Darausergeben sich die bekannten Formeln für den Krümmungsradius.

Eine übersichtliche Zusammenstellung der Formeln für Polarkoor-diuaten findet sich bei Gurief 2 ): „Memoire sur la resolution des prin-cipaux problemes, qu’on peut proposer dans les courbes, dont lescoordonnees partent d’un point fixe“ 3 ) (22. Mai 1797). Guriefführt für die Koordinaten folgende Bezeichnungen ein (vgl. Fig. 32):

Radiusvektor FM = z\ A BFM — a,

ferner werden benutzt der Winkel der Tangente gegen die AchseL MTF = <p ; das in F auf FM errichtete Lot bis zur Tangente FH,das als Subtangente bezeichnet wird: die rechtwinkligen Koordinaten

l ) N. A. P. VII, p. S3-8G. *) S. 351 ff.

») N. A. P. XII, p. 176—191.