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Abschnitt XXIV.

einige solche heraostinden. Die Arbeiten, die ganz isoliert stehen,werden dann eben in chronologischer Reihenfolge aufgeführt werden.

Eine erste Gruppe von Abhandlungen beschäftigt sich mit derBestimmung von Kurven, deren Bogenlängen irgend einer Be-dingung genügen sollen. Wir führen zunächst zwei Arbeiten vonEuler an, in denen ein heute wenig mehr gebrauchter Begriff eineRolle spielt, nämlich die Amplitude eines Kurvenbogens, eine vonJob. Bernoulli eingeführte Bezeichnung. Man versteht darunterden Winkel der beiden Normalen (oder Tangenten) in den Endpunktendes Bogens. Dieser Winkel ist in den meisten der folgenden Unter-suchungen als Parameter eingeführt. Nimmt man die eine der beidenNormalen als .r-Achse, so ist, wie man leicht sieht:

dx = ds • sin qr; dy — ds cos qp.

Diese Darstellung ermöglicht es nun, eine große Klasse vonrektifizierbaren Kurven zu finden. Ist nämlich v eine beliebige

Funktion von (p , und setzt man ^ = v + , so ist damit eine

Kurve bestimmt, für welche sich sowohl die Koordinaten als dieBogenlänge einfach in v und qp ausdrücken lassen. Es ergibt sichnämlich durch Integration der obigen Gleichungen:

d v dv ,

X = • sin qp — v cos qr ; y = cos qp -f- v • sin qp ;

s=Jvd 9 + £.

Ist also das Integral jvdrp ausführbar, so läßt sich die Kurverektifizieren, und soll sie sonst noch einer Bedingung unterworfen sein,so handelt es sich nur um eine geeignete Bestimmung der Funktion v.Diese oder ähnliche Überlegungen liegen den meisten ArbeitenEulers über die Bogenlängen von Kurven zugrunde. Die erste derbeiden Euler sehen Abhandlungen heißt: „De arcubus curvarum aequeamplis earumque comparatione“ 1 ). Es handelt sich hier um die Auf-gabe, Kurven so zu finden, daß die Bogenlängen ihren Amplitudenproportional sind, daß also:

s qp

a u ’

oder

ds adtf u

ist. Es ist klar, daß der Kreis jedenfalls zu den gesuchten Kurven

») N. C. P. XII (1766 67), p. 17—41.