Höhere ebene Kurven.

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gehört; es fragt sich aber, ob nicht noch andere Kurven diesedem Kreis zukommende Eigenschaften haben. Fragen dieser Artsind in jener Zeit öfters behandelt worden; wir werden späternoch einige hierher gehörigen Untersuchungen nnzuführen haben;Hier findet Euler außer dem Kreis noch weitere Kurven durch einenKunstgriff: er fügt nämlich zu cp eine Funktion V hinzu, diesich nicht ändert, wenn cp um cc wächst; V muß dabei einfach

eine Funktion von sin und cos ^ sein. Nimmt man nun

a a

den einen Endpunkt des Kurvenbogens als Koordinatenanfangspunkt,seine Normale als a'-Achse, so findet man die Gleichung der gesuchtenKurve in der Form:

x = (1 — cos cp) + f sin cp d F; ij = sin cp +J cos cpd V.

Hieraus folgt für den Krümmungsradius der Ausdruck:

,dV

* a ' rf <p

Die nähere Untersuchung zeigt, daß die Kurve aus lauter kongruentenStücken von der Länge « besteht.

Die zweite Arbeit (vom 19. August 1776) ist betitelt: „De duabuspluribusve curvis algebraicis, in quibus, si a terminis fixis aequalesarcus abscindantur, earum amplitudines datam inter se teneantrationem“ 1 ).

Hier handelt es sich also um zwei verschiedene Kurven und dieAmplituden gleicher Bögen sollen nicht mehr gleich sein, sondern ineinem gegebenen Verhältnis stehen. Euler findet für die eineKurve die folgenden Gleichungen, in welchen « und ß Konstantensind, derart, daß das Verhältnis der Amplituden = u : ß ist, und inwelchen v eine Funktion von cp bedeutet:

1 d v .

-i— smßqpa a qp T

cos ucp

dH

d qp

s sin ccq:

1 dH-i , cos

« dcp‘

«<f)>

1 dv , v ■ , 1/1 d’v . 1 d 8 t> • \

= ? ' cos C(( f + t ' sm a f + r- fc* d<f * cos ^ w sin “V ■

Die Gleichungen der zweiten Kurve ergeben sich hieraus durch \ er-tauschung von u und ß. Sollen die beiden Kurven algebraisch sein,so müssen « und ß rationale Zahlen und muß v eine algebraischeFunktion von sin cp und cos <p sein. Das Beispiel v = cos cp wirddurchgeführt und ergibt Epizykloiden; außerdem wird die Aufgabe

>) N. A. P. VI, p. 63—76.