482
Abschnitt XXJV.
auf 3. 4 usw. Kurven verallgemeinert, deren Amplituden bei gleichenBögen ein vorgeschriebenes Verhältnis haben sollen.
Mit der Rektifikation von Kurven haben sich die Mathematikerin unserem Zeitraum mehrfach beschäftigt 1 ). Schon früher hatteHermann*) die Aufgabe vorgelegt, die Quadratur einer Kurve aufeine Rektifikation zurückzuführen, die dann von X. Bernoulli 8 ) undEuler 4 ) behandelt wurde. Saladini nahm die Frage wieder auf inseiner Abhandlung: „Methodus Bernoulliana de reducendis quadraturistranscendentibus ad longitudinem curvarum algebraicarum, a quibusinutilis saepe redditur, imaginariis quantitatibus liberatur atque eius-dem reductionis innumerae aliae viae indigitantur“ 5 ). Er gab einenBeweis des Bernoullischen Satzes, nach welchem die Fläche einerKurve y = f(x) durch
ausgedrückt wird, wo S den Bogen der Kurve:
X = /s .
r= y{ ±- y 'l_ x
(i)
bezeichnet. Um aber die Einführung der für y 2 > 1 vorkommendenimaginären Größen zu vermeiden, stellt er folgenden Satz auf:Man hat:
J ydx = - y'~± +J /dYjd'Xl*,
wenn
A',-
i)
+ x.
Ist die vorgegebene Kurve algebraisch, so ist es auch die Kurve (1);es läßt sich also die Quadratur jeder algebraischen Kurve auf dieRektifikation einer algebraischen Kurve zurückführen. Da aber dieLinie (1) öfters kompliziert ausfällt, so schlägt Saladini eine andereMethode zur Auflösung des Problems vor. Setzt man z. B.
A ’ = !/ > Y=yi + mx, ( 2 )
wo »i konstant ist, während P, Q Funktionen von y bezeichnen, solautet die Bedingung dafür, daß dS* = dX 2 + d V 2 ein vollständigesQuadrat sei:
d Q -f- Hi d y _ dP
__ Q ' ~ p '