Höhere ebene Kurven.

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Nimmt mau dann fiir Q eine solche algebraische Funktion von y,daß "‘fr* ein logarithmisches [Differential ist, so ist P eine alge-braische Funktion von y, und man hat:

,/T" yi :: «■ - -*

wo S den Bogen der Kurve (2) bezeichnet.

Schon im III. Bande der Denkschriften der Berliner Akademie(1747) hatte d’Alembert auf ein Paradoxon hingewiesen, das aus derBetrachtung der Kurven entsteht, die durch die Differentialgleichung:

dy = dx V (1 — x)~% — 1 (3)

definiert ist. Zwanzig Jahre später nahm er den Gegenstand wiederauf in einer Schrift: „Extrait de plusieurs lettres de l’auteur surditferens sujets ecrites dans le courant de l’annee 1767“'). Integriertman (3) mit der Bedingung, daß für x =* 0 auch y = 0 werden soll,so erhält man:

(4)

ferner ist:

.'/ = [l - (1 — *)*]*;

ds — dx V(\ — x)~% = (1 — x)~^da

also unter der Bedingung s = 0 für x = 0:

s = ® ' 1 — (1 — xft].

Aus (4) ergibt sich die Ge-stalt der Kurve; es ist y = 1für x = 1, dann nimmt y ab fürwachsendes und abnehmendes x,und es wird y = 0 für x — 0und x = 2. Für x < 0 und fürx > 2 ist y imaginär. Fernerhat y für jeden Wert von x zweigleiche und entgegengesetzte\Y erte, so daß die Kurve die ausFig. 32 ersichtliche Gestalte. BCDhat; es ist die seit Leibniz be-kannte reguläre Astroi'de 8 ),deren Gleichung durch die Trans-formation ,z = l-t-:z'; y = y sichauf die Form:

(?)

( 6 )

C'

\

/

\A/'

A'

0

r

D

Fig. SS.

*) Opuseules mathematiques T. IV, p. 65—68 (Paris 1768).Loria, Spez. Kurven, S. 227.

Cantor, Geschichte der Mathematik IV. 32

*) Vgl.