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Abschnitt XXIV.

x 'i -|- y’i = l ; oder (x 2 + y 2 — l) 3 + 27 x' 2 y 2 = 0

bringen läßt.

Sind nun M und M' zwei den Zweigen AB, bzw. BC an-gehörige, in bezug auf die Achse symmetrische Kuryenpunkte, Pund P ihre Projektionen auf die x -Achse und setzt man

OP = OP' = g,

so folgt aus (6)

arcA.itf = arc ABM' = ~ (l — J*) < -*j-,

während arcAi?=- ist, ferner arcAi?G’ = 0. Es nimmt also die

Bogenlänge vom Punkte B an fortwährend ab, was absurd ist. Undd’Alembert schließt: „Voilä donc encore ici le calcul en defaut“.

Eine weitere Bemerkung ist folgende: Nimmt man, wie es still-schweigend vorausgesetzt worden ist, dy in (3) positiv an, so muß yimmer zunehmen; also ist die Fortsetzung der Linie über B hinausnicht BC, sondern der zu BC in bezug auf die durch B parallel zuAC gezogene Gerade symmetrische Zweig BC.

Diese Schwierigkeiten, auf welche d’Alembert keine Antwortgab, reizten den Scharfsinn Mascheronis 1 ), welcher sich die Auf-gabe stellte, die Angriffe von d’Alembert gegen die Analysis zuwiderlegen („Injuria tarnen accusatur calculus“). Durch Reiheninte-gration findet er

O

= B— — «1 + — . — -|- 1 •

o * i o A ‘‘2 4

3 46 *

+

1 3

2-4-6 8

-|-■■■ = B — y,

wo B eine Konstante ist. Hieraus ersieht man, daß y für z und — zdenselben Wert annimmt, so daß die Fortsetzung von AB nichtBC, sondern BC ist. Nimmt man aber die in (3) vorkommendeWurzelgröße mit doppeltem Zeichen an, so erhält man

y = B±y,

so daß die ganze Kurve aus den vier Zweigen AB, BC, A'B, BC'gebildet ist. Die Gleichung (5) läßt sich schreiben:

ds = + z~^dz

und aus derselben folgt durch Integration:

s

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*) Adnotationes ad calculum integralem Eulen P. I, 1790