Höhere ebene Kurven.

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vorausgesetzt, daß s = 0 für z — 0 ist. Betrachtet man also denBogen BA als positiv, so muß man den Bogen BC als negativ an-seh en.

Hierdurch wird jedoch d’Alemberts Bedenken keineswegs er-ledigt; aber noch mehr: Mascheroni entdeckt ein neues Paradoxon.Für £>2 ist die Kurve imaginär; aber die Bogenlänge ist auchfür diese Werte von x reell. Die Erscheinung ist nicht vereinzelt:d s

jedesmal wenn ~r~ reell und < 1 ist, hat man eine reelle Bogen-

länge bei imaginärer Kurve; denn es ist dann — 1 < 0,

also

d y . ...

^ miagmar.

Diese Bemerkungen von Mascheroni, welche im

Jahre 1790 veröffentlicht wurden, gaben noch in demselben JahreVeranlassung zu einer Antwort von seiten eines gewissen GiovanniGratognini (1757 —1836), Professor an der Universität in Pavia .Seine Schrift führt den Titel: „Esame analitico d’un paradossoproposto ai geometri dal sign. D’Alembert e della soluzionedatane dal Ch. sign. Don Lore'nzo Mascheroni“ (Pavia 1790); siegibt eine eigentümliche Lösung des Rätsels. Gratognini sagt näm-lich: „die Formel für die Bogenlänge kann längs des Zweiges BCnicht gelten; sie würde nämlich den Bogen BC, gegen seine Natur,durch eine negative Größe ausdrücken. Man muß vielmehr den Aus-druck für ds in (5) für AB mit positivem, für BC mit negativemVorzeichen versehen. Desgleichen kann für x > 2 der in (5) an-gegebene Wert dem Bogen nicht angehören, weil sie von der Glei-chung ds 2 = dx 2 -f- dy 2 abgeleitet wurde, w 7 elche, da im betrachtetenFalle dy fehlt, etwas Chimärisches und Bedeutungsloses darstellt.“

Einen ähnlichen Gedanken hat Contarelli in einem Brief 1 ) anPaolo Cassiani, Professor in Modena , ausgesprochen. Er sagtnämlich, daß bei der Berechnung der Bogenlänge der Bogen CDnotwendig als negativ angesehen werden müsse, da ja C ein Rück-kehrpunkt sei, und fügt bei, daß Giordano Riccati dieser An-schauung zugestimmt habe.

Daß alle diese Deutungen ganz ungenügend sind, ist klar. Die her-vorgehobenen Schwierigkeiten konnten nicht überwunden werden, so-lange man den Begriff des Veränderlichkeitsbereichs einer algebraischenFunktion nicht vollständig beherrschte. Heutzutage haben died’Alembertschen Paradoxa für uns nichts Verwunderliches mehr.Da die Funktion y von x durch eine Differentialgleichung von derForm dy = Bdx definiert wird, so ist sie, von einer bloß additiven

*) Continuazione del nuovo giomale dei letterati, T. 21.