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Abschnitt XXIV.
Konstanten abgesehen, bestimmt, und daher sind sowohl A'BC alsADC Zweige der Integralkurve. Ferner ist die Ordinate y, nachdemsie durch Angabe ihres Wertes für x = 1 bestimmt worden ist, einesechswertige Funktion von x ; dasselbe kann man von s sagen, da dierechte Seite von (6) mit doppeltem Vorzeichen behaftet werden muß.Die Bogenlänge s bildet eine auf der die Funktion y von x dar-stellenden Riemannschen Fläche reguläre Funktion; x = 1 ist einVerzweigungspunkt dieser Fläche, und an diesem Punkte kann derllbero-ang von einem zu einem anderen Funktionszweige sowohl vony als von s stattfinden. Dadurch kann man sich von allen schein-baren Unregelmäßigkeiten Rechenschaft geben.
Die Schwierigkeiten, welche die Rektifikation der meisten Kurvenbietet, scheinen Euler dazu veranlaßt zu haben, Kurven zu suchen,deren Bogenlänge sich angeben, oder wenigstens durch diejenige be-kannter Kurven ausdriicken läßt, oder, wie Euler sagt, die durchdie Bogenlängen bekannter Kurven „meßbar“ sind. Dieses Problemkann 1 ) als eine Verallgemeinerung der gewöhnlichen Rektifikationangesehen werden, bei der es sich ja einfach um eine „Meßbarkeit“durch geradlinige Strecken handelt. Euler hat solchen Fragen ver-schiedene Abhandlungen gewidmet; die erste heißt: „De innumeriscurvis algebraicis, quarum longitudinem per arcus parabolicos metirilicet“ 2 ). Die analytische Formulierung dieser Aufgabe ist: x und yals Funktionen eines Parameters v so darzustellen, daß:
ds = ydx i + dy 2 = dvY 1 + v 2
wird. Euler nimmt zunächst die allgemeine Aufgabe in Angriff,daß das Bogenelement ds dem Differential einer beliebigen Funktionvon v gleich werden soll, also ds = Vdv, und versucht, ob folgendeGleichungen das Problem zu lösen vermögen:
dx PyA +1' — Q\/B — U dy P\/B^~U -f Q ]/Z+ T r m
wo P, Q, U Funktionen von v, A und B Konstanten sind. Dies istder Fall, wenn
P 2 + Q* * = V* (2)
ist. Dieser Gleichung müssen also P und Q genügen, und dann istU so zu bestimmen, daß die Gleichungen (1) integrabel werden.Zu diesem Zweck führt man statt U einen Winkel <p, der also gleich-falls eine Funktion von v ist, ein, und setzt:
’) Nach einer Bemerkung von Herrn Vivanti, vgl. Fußnote S. 476.
*) N. A. P. V, p. 59—70.