Höhere ebene Kurven.

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ff = I , sin<p+ (Jcoscf - ^ = P cosy — Qsinq. (3)

Nach diesen allgemeinen Bemerkungen wird wieder auf die spezielleAufgabe, wo also T'= |/l + t' 2 sein soll, zurückgegriflen, und gezeigt,daß diese Forderung erfüllt ist, wenn in (1) U eine beliebige ganzzahligeWurzel von v ist; die Beispiele U = v, U = ]/v werden durchgeführt.Ebenso läßt sich aus (3) eine spezielle Lösung herleiten, wenn P — 1,= v gesetzt wird; es ergibt sich so:

dx = dv sin qp + vdv cos qp; dy = dv cosqr — vdv sin qr.

Setzt man hier noch v = sin -9-, so macht die Beziehung qr = AH dieGleichungen integrabel und liefert algebraische Kurven, wenn A einerationale Zahl ist: Schließlich wird noch eine dritte, allgemeinereLösung hergeleitet, nämlich

■ix =-cos (« + AH) + cos [a + (A + 2) H]

+ ^x — 2 cos I“ + O* - 2 )

4 y = — " sin (« + AH) + sin 1-“ + ( A + 2 )

+ -j-U 2 s ’ n [ ft + — 2) H],

wo u ein beliebiger Winkel, A eine rationale Zahl exkl. + 2 ist.

Die gleiche Aufgabe hat Euler in einer späteren Arbeit vom20. August 1781 wieder aufgenommen, über die deshalb auch gleich hierberichtet werden möge. Sie heißt: De innumeris curvis algebraicisquarum longitudo arcui parabolico aequatur 1 ). Er gibt dort folgendeelegante Konstruktion einer solchen Kurve: Es sei AB = PC = 2a

o

der doppelte Parameter derParabel AC, AI) eine zu ihr ^symmetrische, die mit ihrAchse und Scheitel gemeinhat; n sei eine beliebige Zahl.

Mache nun FG =

n ’

G V

ria. 34 .

parallel der Achse und gleicheiner beliebigen Ordinate XE;

A VFG sei = H. Lege in

F an AF einen Winkel =«H an, und trage auf dem Schenkel desselben

*) M. P. XI (1830), p. 100—101.