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Abschnitt XXIV.

FZ — FX ab, dann ist der geometrische Ort von Z eine Kurve dergesuchten Art, deren es also unendlich viele gibt, da n beliebig an-genommen werden kann. Der Beweis ergibt sich leicht aus der an-gegebenen Konstruktion.

Eine weitere Abhandlung vom 10. Juni 1776 behandelt dieselbeAufgabe für Ellipsenbögen; sie heißt: „De innumeris curvis algehraieisquarum longitudines per arcus ellipticos metiri licet“ 1 ). Hier soll alsodas Linienelement von der Form sein

1 + (n

Dieser Forderung wird genügt, wenn:

p + q)dv

(p — q)dv

y'2 (! + »)’

V* 0-0

( 5 )

ist, wobei p und q Funktionen von v sind, derart, daß;r -f- q 3 — 2pqv = 1 + (n 3 — l)ir.

Dadurch werden die Gleichungen (4) integrabel und liefern alge-braische Gleichungen. Z. B. ergeben die Werte p = 1; q — v (n -j- 1)eine Kurve 6. Ordnung. Auch hier lassen sich durch Einführungvon Winkeln die Gleichungen uniformen, und Euler ermittelt fol-gende Lösung der Aufgabe:

2x = sin[(;. + l)g>] - ”_ | • sin[(A — 1)<p],

( 6 )

2y = ^ticos[(;. + IV | - j ■ sin[(1 - l )qp],

wo k eine rationale Zahl sein muß, wenn die Kurven algebraischsein sollen. Die durch (6) dargestellten Kurven sind Epi- und Hypo-zykloiden. Auffallend ist das Resultat für n= 1; in diesem Fallstellt (4) das Linienelement des Kreises dar, (6) aber den Kreisselbst. Euler sah sich dadurch veranlaßt, den Satz auszusprechen,daß es außer dem Kreis selbst keine Kurve gebe, derenBogen sich durch Kreisbögen messen lasse (vgl. unten S. 491),unterließ es aber nicht, die Aufmerksamkeit der Mathematiker aufdas S. 486 formulierte allgemeine Problem zu lenken. Auch führter am Schluß dieser Abhandlung noch au, daß es ihm nicht ge-lungen sei, diese Aufgabe wie für Ellipsenbögen, so auch fürHyperbelbögen zu lösen. Dies leistete später Fuß in einer Abhand-lung vom 28. Juni 1788: „De innumeris curvis algebraicis qua-

*) N. A. P. V, p. 71—85.