Höhere ebene Kurven.

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rum longitudinem per areus hyperbolicos metiri licet“ 1 ) durch Ein-führung hyperbolischer Funktionen. — Auch diesmal hat Eulerder Aufgabe später (20. August 1781) eine zweite Arbeit ge-widmet: „De curvis algebraicis, quarum longitudo indefinita arcuielliptico aequatur“ 2 ). Er knüpft hier an die Formeln (6) an, und be-merkt mit der liebenswürdigen Offenheit, mit der er stets seinen Ge-dankengang klarlegt, daß er zufällig (casu) darauf gekommen sei.Die Arbeit besteht im wesentlichen in einer Verallgemeinerung dervorher gefundenen Resultate. Auch einen schwierigeren Fall des all-gemeinen Problems ds = Vdv hat Euler behandelt (17. Juni 1776):„De innumeris curvis algebraicis, quarum longitudo exprimitur bac

formula integrali

‘/tf

= dv“. s ) Das Problem wird gelöst und aus-

gedehnt auf den allgemeineren Fall

/» v m ~ 1

: j ■ -—+ bv in -p cv* *” -p dv 6 " -p • • •) dv.

Wieder einer Aufgabe allgemeinerer Natur, die in diese Gruppegehört, sind zwei Arbeiten von Euler gewidmet, nämlich: „De biniscurvis algebraicis inveniendis, quarum arcus indefinite inter se siutaequales“ 4 ) (20. Juni 1776) und: „De binis curvis algebraicis eademrectificatione gaudentibus“ 5 ) (20. August]1781). Jede der beiden löstdie Aufgabe auf zwei verschiedene Arten. In der ersten nimmtEuler die beiden Kurven in Parameterform gegeben an:

X = p(» + q(z)- X=p(z) - q(z)-

Y=r{z)-s(z)-, y = r(z) — s (z).

Die Forderung, daß die Linienelemente beider Kurven gleichseien, ergibt für die vier Funktionen p, q, r, s die Bedingungsgleichung:

p’q’ = r 's'.

Um dieser Gleichung zu genügen, führt Euler zwei neue Funk-tionen u und v von z ein, die mit den ersten durch die Glei-chungen verbunden sind:

n v uv'

!< = ->; p = , ; s = —— v.r ’ 1 u ’ n

Damit ist die Bedingungsgleichung erfüllt, und Koordinaten der beidenKurven sind dargestellt durch:

‘) N. A. P. XIV (1805), p. 111—138. *) M. P. XI 1830), p. 95—99.

*) N. A. P. VI, p. 36—62. *) Ebenda, IV, p. 96—103. 6 ) M. P. XI (1830),

p. 102—113.