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Abschnitt XXIV.

V UV

1 = r -, + v:

u ’

X = — — q:u 1 ’

y = r + — v.

J u

Sind q, r, v algebraische Funktionen, so sind beide Kurven alge-braisch.

Die zweite Lösung legt die Bedingungsgleichung in der Form= y zugrunde, und führt zu einer einfachen geometrischen Kon-

struktion, nämlich (vgl. Fig. 35): Es seien zwei beliebige Kurven mit

derselben Abszissen-achse und den Koordi-naten p, s und q, r ge-geben. Man zieheparallele Tangenten andie beiden Kurven, diesie in S und 0 berühren,

so ergeben sich die Koordinaten X, 1' und x, y der beiden gesuchtenKurven aus den Gleichungen (vgl. Fig. 35)

f

■#r

Fig. 85.

X = liP + EQ-, x = BP — EQ\

Y = CE - PS ; y — CE + PS.

In der zweiten Abhandlung ist zunächst eine Lösung mit Be-nutzung von Winkelgrößen gegeben. Der Forderung der Aufgabewird genügt durch die beiden Gleichungen:

dX = dx cos qp + dy sin qp,dY = dx sin qp — dy cos qp,

wo x und y noch als Funktionen von qp so zu bestimmen sind, daßdiese Gleichungen integrabel werden und algebraische Funktionen er-geben. Euler führt zu diesem Zweck zwei Funktionen P und Qvon qp ein, derart, daß

dann wird

dP

• sin qp +

dQ

X ~ dcp

d cp

OOS <p,

dP

• cosqp +

dQ

y~--d V

d cp

sin (p,

X = P -f- -*?— 5 Y =

a qp 7

_ dPd <p

- Q.

Sind hierbei P und Q algebraische Funktionen von sin <p undcos qp, so werden die Gleichungen integrabel, und ergeben algebraische