Höhere ebene Kurven.

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Kurven. Die zweite Lösung, die gegeben wird, benutzt keine Winkel-größen, ist aber in ihrem Resultat nicht wesentlich von der erstenverschieden, die auch für die Anwendung bequemer ist. Setzt manz. B. Q = 0, so ergeben sich Kurvenpaare von der Eigenschaft, daßder Radiusvektor der einen Kurve gleich der Ordinate der anderenist. Dies wird angewendet auf Parabel und Ellipse. Aber auch hierergibt sich durch Spezialisierung für den Kreis als zweite Kurveeben wieder der Kreis. Trotzdem gelangte Euler später im Zu-sammenhang mit diesen Untersuchungen zu einer Lösung derfrüher (s. S. 488) von ihm für unmöglich gehaltenen Aufgabe,Kurven zu finden, deren Bögen sich durch Kreisbögen aus-drücken lassen, abgesehen vom Kreise selbst. Seine Arbeit hier-über ist am gleichen Tag wie die letztere der beiden vorigen derAkademie vorgelegt worden. Sie führt den Titel: „De curvis algebrai-cis quarum omnes arcus per arcus circulares metiri licet“ 1 ). In derEinleitung kommt Euler auf seine früher (s. S. 489) aufgestellteBehauptung zurück, daß es keine solchen Kurven gebe, und gestehtmit der für ihn charakteristischen Offenheit ein, der Hauptgrund fürjene Behauptung sei gewesen, daß es ihm trotz aller Anstrengungennicht gelungen sei, solche zu finden; er nimmt sie hiermit feierlichzurück („solemniter retractans“). Sein Verfahren, um Kurven der ge-nannten Art zu finden, ist nun folgendes: Es sei w ein Bogen einesKreises vom Radius = 1; die Gleichung der Kurve soll in Polar-koordinaten ( z , 9 ) aufgestellt werden; dann muß sein

dz 2 + z*d(f 2 = du‘ 2

oder

Die Aufgabe ist also einfach, z in Funktion von 9 so zu bestimmen,daß das Integral der rechten Seite einen Kreisbogen ergibt, d. h. sichdurch zyklometrische Funktionen ausdrücken läßt. Dies ist nun sehreinfach möglich, wenn z = b + cos w gesetzt wird, wo b eine beliebigeKonstante ist. Hierdurch erhält man:

d w cos w

* b - f- cos w

Um dies Integral auszuführen, setzt man t = t-g-^- und erhält:

Diese Gleichung in Verbindung mit f = tgy und 2 = & + cosstellt

') M. P. XI (1830), p. 114—124.