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Abschnitt XXIV.
nun die gesuchte Kurve dar; sie ist algebraisch, wenn - - - —
eme
rationale Zahl ist. An diese Formeln schließt sich eine Diskussionder Kurve, die als wichtigste Resultate folgende ergibt: der Krüm-
mungsradius ist r = daraus folgt, daß ein Wende-
punkt auftritt für cos tc = — ~ , also z — |(Daraus folgt, daßein solcher nur auftreten kanu, wenn b <2 ist, weil sonst z <6—1
; daraus folgt, daß ein Wende -
mungsradius ist r =
würde, was nicht möglich ist.) Die Amplitude 1 ) ist u = tv -f- (p.Auf Grund der entwickelten Formeln wird noch ein Zahlenbeispiel
berechnet, und der Verlauf der Kurve gezeichnet; sie hat
etwa die Gestalt einer Lemniskate mit ungleichen Schleifen. Schließ-lich wird noch bemerkt, daß der von einem bestimmten Punkte abgemessene Bogen gleich dem Arkus des Winkels zwischen dem Radius-vektor und der Tangente im Endpunkt des Bogens ist.
Während es sich in den Arbeiten, über die vorstehend berichtetwurde, um Vergleichung von Bogenlängen verschiedener Kurvenhandelt, sind nun einige Abhandlungen zu nennen, in deneu Be-ziehungen zwischen Bogenlängen und Tangenten, Normalen usw.einer und derselben Kurve untersucht werden. Unter diesen istder Zeit nach die erste eine Veröffentlichung von Pio Fantoni (1721—1804, Wasserbaumeister in toskanischen Diensten, Mitglieddes Instituts von Bologna ): „De problemate quodam algebraico, dequeevolutione mechanicae cuiusdam curvae inter infinitas hypermechanicas,quae determinatae aequationi satisfaciunt“ 2 ). Die Aufgabe, die Fan-toni als „Problems algebraicum“ bezeichnet, ist folgende: Eine Kurveso zu finden, daß das Stück der Tangente zwischen dem Berührpunktund dem vom Koordinatenanfaugspunkt auf sie gefällten Lot kon-stant sei. Als Differentialgleichung der gesuchten Kurve ergibt sich:
vdu ydx* -(- dy“dx
Die Integration wird zunächst in rechtwinkligen Koordinaten aus-geführt, wobei der Differentialquotient als Parameter auftritt; esergibt sich eine ziemlich komplizierte Formel, die sich aber wesent-lich vereinfacht dadurch, daß als Koordinaten der Radiusvektor z,und der von ihm und der x -Achse begrenzte Bogen u eines Kreisesvon gegebenem Radius = a eingeführt werden,-also Polarkoordinaten
') Vgl. S. 480. *) Phil. Trana. Vol. 57 (1767), p. 338—371