Höhere ebene Kurven.

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besonderer Art. Setzt man nämlich noch ]/^ 3 — a 2 = t, so er-gibt sich

u = t — a arctg •

Es wird daun noch gezeigt, daß diese Kurven Traktorien derArchimedischen Spirale sind.

Auch Euler hat sich mit derartigen Fragen beschäftigt undfolgendes „Problema geometricum ob singularia symptomata imprimismemorabile“ 1 ) gelöst (10. Februar 1777): Eine Kurve so zu be-stimmen, daß der Sektor ACZ = £ dem Quadrat des BogensAZ—S proportional sei. Dabeiist angenommen, daß AC zugleichTangente an die Kurve in A sei,und daß die Achse CB auf ACsenkrecht stehe. Es soll alsosein:

s 2 = 4 n£. (1)

Dieser Gleichung genügt, wieman leicht sieht, die logarith- Amische Spirale um C, wenn

2

n = . 0( .

SU) 2 J

ist, wo ^ d en konstanten Winkel qdes Radiusvektor gegen die Tan-gente bedeutet. Dies ist aberschon deshalb nicht die allgemeinste Lösung, weil hier n > 2 seinmuß. Für die allgemein gefaßte Aufgabe gibt Euler drei Lösungen;die erste benutzt den Winkel cp der Normalen gegen die Achse unddrückt das vom Ursprung auf die Normale gefällte Lot CD = t, unddas Stück ZD der Normalen =p in Funktion dieses Winkels aus.Hierbei zeigt sich zuuächst, daß p dem Bogen s, t dem Krümmungs-radius r proportional ist, nämlich

s = np\ r = nt, (2)

was Euler als „proprietates insignes“ dieser Kurven bezeichnet. Weiterergeben sich die Differentialgleichungen:

Fig. St».

dt dH A dp

t — n-j -k-, = ö; t = , •

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l ) N. A. P. vm, p. 87 — 115 .

( 3 )