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Abschnitt XXIV.
Die Integration liefert unter Berücksichtigung der Anfangsbedin-gungen:
p- jtdcf = ^rpie“* - 0*9), (4)
wo die vom Ursprung an die Kurve gezogene Tangente CA = a ist,und u und ß den Gleichungen genügen:
u + ß = n; aß — 1.
Die Reellität von u und ß hängt also davon ah, oh n ^ 2 ist. Es
sind also bei der Diskussion der Kurve drei Fälle zu unterscheiden:
1) n > 2, « und ß sind reell (Fig. 37). Für wachsende Wertevon <p wird t und damit nach (2) auch r immer größer; die Kurvezieht sich also in immer weiteren Windungen um den Punkt C herum.Nimmt cp ab und wird negativ, so gibt es schließlich einen Wert, nämlich
— 2 log cc
V--a-ß >
wo t, und damit r, verschwindet. Daraus ergibt sich, daß derentsprechende Kurvenpunkt E ein Rückkehrpunkt ist (da r = 0),dessen Normale durch C geht (da t = 0). Von diesem Punkte abnähert sich die Kurve asymptotisch dem Ursprung C ,und es ist Bogen CE = Bogen AE. In der Nähe vonC und im Unendlichen nähert sich die Kurve der loga-rithmischen Spirale. Denn ist ft der Winkel des Radius-| vektor gegen die Kurventangente, so ist
tgö-
P
t
e “9
also lim tg& = ß, und lim tgO- = cc.
(p = OC (fi = — OC
2) Fall n = 2. ln diesem Fall ist u = ß-, aus (3)folgt t = a (1 + cp) eff\ p = a<f ■ e?f\ tg ft = 1 ^ . Im
Rückkehrpunkt ist cp = — 1. Die logarithmisehe Spirale,Fig. 37. der sich die Kurve asymptotisch nähert, hat den Win-kel 45°.
3) Fall n < 2. Hier werden « und ß konjugiert imaginär undan Stelle der Exponentialfunktion treten goniometrische Funktionen.Setzt man a = p + iv- ß — u — iv, so wird:
t
a , n
= - - ( 4 u sin vcp + v cos vtp)-, p =
sin vcp
Die Bedingung für den Rückkehrpunkt (Y=0) ist hier tgv<p =— ----; diese
f 4
ist aber für unendlich viele Werte von g erfüllt, also hat die Kurveunendlich viele Spitzen.