Höhere ebene Kurven.

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Die beiden anderen Lösungen geben die Gleichung der Kurve inPolarkoordinaten (z, ?c) und in rechtwinkligen Koordinaten (x, y),nämlich:

z =

(«-

’ 11 J (J

nqdq

(i + 2 S )( 1 — nq + q*)’

wo der Parameter q = W ist; und1 dz 1

x = ae“'*’ (« sin qp — cos qc ) — a& l ‘ f (ß sin cp — cos cp),y = ae ur<( ’ (sin cp a cos qp) — ae> y ^ (sin qp + ß cos qp).

Endlich gehören hierher noch zwei Abhandlungen von Fuß,nämlich: „Exercitatio analytico-geometrica circa lineam curvarn singu-lari proprietate praeditam“ 1 ) und: „Disquisitio analytico-geometrica devariis speciebus linearum curvarum singulari proprietate praeditarum“ 2 ).In der ersten werden Kurven folgender Eigenschaft gesucht: Ist Cein Punkt der Normalen, T ein Punktder Tangente eines Kurvenpunktes Aund Y der Schnittpunkt von CT mitder Kurve, so soll AT=arcAY sein. XSetzt man AC = 1, und nimmt AC als yAbszissenachse, C als Ursprung (alsoCX’=x, X’ Y = y), so wird AT=-J,die Differentialgleichung der Kurve lautet:

oder

dyd x

Fig. 38.

y + x y x* + 2/* — x<x(l — X 5 ) ’

die sich jedoch nicht integrieren läßt, auch nicht durch Einführungvon Polarkoordinaten. Fuß nimmt nun AT als x- Achse, alsoAX = x, XY = y, zieht ferner in 1' die Tangente YV, und führtden L TVY = cp und den Bogen AY = S ein. Dann ist:

dx = ds cos qp;dy = — ds sin qp;

x

AT = s =

i -y

Hieraus ergibt sich

x — s~ sin qp s cos qp; y = 1 — s sin qp

s = <p J d( f ^ sin v-

*) Ebenda, 1781, I, p. 12

COS qp;

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*) A. P. 1780, II, p. 49—69.