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Abschnitt XXIY.

Hieraus folgt für den Krümmungsradius:

(1 — sctg<p).

Für s wird noch folgende Reihenentwicklung angegeben:

Die zweite Abhandlung bringt eine Verallgemeinerung der vorigenAufgabe, insofern jetzt an Stelle der Tangente eine beliebige Gerade

tritt. Es soll also (s. Fig. 39)aramn = MN sein. Hierbeiwird der spezielle Fall be-handelt, daß die Kurve durchC geben und in C eine ge-gebene Xeigung cc gegen diex-Achse (das Lot von C aufMN) haben soll. Auch hierführt die Aufgabe auf ein In-tegral von ähnlicher Form,wie vorher, nämlich:

M

C

Fig. 39.

es wird auch hierfür eine Reihe

entwickelt, die zur Berechnung von Kurvenpunkten für Spezialwertevon u dient.

In verschiedenen Aufgaben der hiermit erledigten Gruppe han-delte es sich um Kurven, die gewisse Eigenschaften mit demKreis gemein haben. Es lag nahe, eine derartige Fragestellungnoch weiter zu versuchen. Euler selbst hat dies ja für die charak-teristischen Eigenschaften der Kegelschnitte getan (s. S. 471), undsich auch weiterhin mit ähnlichen Untersuchungen beschäftigt.Schubert und namentlich Fuß sind speziell vom Kreis ausgegangen.An derartige Fragen schlossen sich naturgemäß sonstige Aufgabenüber Krümmungsradien, und deren Beziehungen zu denKoordinaten, zu Tangente, Bogenlänge usw. Die erste Abhand-lung auf diesem Gebiet wurde von Euler der Petersburger Akademie vor-gelegt am 16. Januar 1777: „Evolutio problematis, cuius solutio ana-lytica est difficillima, dum synthetica per se est obvia“ 1 ). Es handeltsich darum, eine Kurve zu finden, deren Krümmungszentra alleauf einem gegebenen Kreis vom Radius —a liegen. Es istohne weiteres klar, daß dieser Bedingung genügen:

*) N. A. P. VIII, p. 73—86.