Höhere ebene Kurven.

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1) alle Kreise, deren Mittelpunkte auf dem gegebenen Kreis liegen,also auch die Punkte dieses Kreises selbst,

2) alle Evolventen des gegebenen Kreises.

Die Abhandlung ist mehr wegen der darin angewandten Integrations-methoden bemerkenswert, als wegen der gefundenen Kurven, die janichts Neues bieten. In ersterer Beziehung handelt es sich um eineDifferentialgleichung zweiter Ordnung, wobei Integrale verschiedenerArt auftreten, darunter auch der Kreis selbst als singuläres Integral.Von Interesse ist hier eine Bemerkung Eulers über die Unter-suchungen von Lagrange (Nouveaux memoires der Berliner Aka-demie 1774) über diesen Gegenstand, an denen Euler die nötigeKlarheit vermißt: „Nullum autem est dubium, quin vir Ulustrissimus(d. h. Lagrangej mentem suam non satis exposuerit aut quasdamrationes ad intelligendum necessarias reticuerit, quas equidem supplerenon valeo, unde uberior explicatio super hoc principio, in quo 111.Auctor adeo insigne supplementum Calculi integralis constituit, maximeforet optanda“. Es handelt sich hier wieder hauptsächlich umdie Bedeutung der Integrationskonstante (s. S. 479). Das jedemBand dieser Serie von Publikationen vorausgeschickte „Extrait histo-rique“ bemerkt dazu: „II y a lieu de croire que M. Euler n’a pas biensaisi l’idee de M. de la Gran ge, aussi parait-il dispose lui meme ämettre ses doutes sur le compte de quelque malentendu“.

Auf höchst merkwürdige Kurven wurde Euler geführt durchseine Untersuchungen: „Decurvis, quarum radii osculitenent rationem duplicatamdistantiae a puncto fixo,earumque mirabilibus pro-prietatibus*' 1 ) 120. August

1781). Die Aufgabe ist also,eine Kurve so zu bestimmen,daß der Krümmungs-radius r dem Quadratdes Radiusvektor z pro-

z s

portional ist, also r =—.r ’ a

Daß der Kreis vom Radius a

dieser Gleichung genügt, ist

ohne weiteres klar; es gibt aber

auch noch andere Kurven. Um diese zu finden, werden Polarkoordi-

') M. P. IX (1824\ p. 47—56.